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小升初奥数计数问题之递推方法的解题技巧

编辑:sx_duxl

2016-11-14

 

同学们学习奥数有利于我们数学思维的提升,下面为大家分享奥数计数问题之递推方法的解题技巧,大家一定要多做题,勤加练习才能在成绩上有更大的提高。

递推方法的概述

在不少计数问题中,要很快求出结果是比较困难的,有时可先从简单情况入手,然后从某一种特殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系,找出规律逐步解决问题,这样的方法叫递推方法。

例1、线段AB上共有10个点(包括两个端点),那么这条线段上一共有多少条不同的线段?

分析与解答:

从简单情况研究起:

AB上共有2个点,有线段:1条

AB上共有3个点,有线段:1+2=3(条)

AB上共有4个点,有线段:1+2+3=6(条)

AB上共有5个点,有线段:1+2+3+4=10(条)

……

AB上共有10个点,有线段:1+2+3+4+…+9=45(条)

一般地,AB上共有n个点,有线段:

1+2+3+4+…+(n-1)=n×(n-1)÷2

即:线段数=点数×(点数-1)÷2

例2、2000个学生排成一行,依次从左到右编上1~2000号,然后从左到右按一、二报数,报一的离开队伍,剩下的人继续按一、二报数,报一的离开队伍,…… 按这个规律此下去,直至当队伍只剩下一人为止。问:这时一共报了多少次?最后留下的这个人原来的号码是多少?

分析与解答:

难的不会想简单的,数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析,试着找出规律,然后再用这个规律来解题。

这20人第一次报数后共留下10人,因为20÷2=10 ,这10人开始时的编号依次是:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20,都是2的倍数。

第二次报数后共留下5人,因为10÷2=5 ,这5人开始时的编号依次是: 4、8、12、16、20,都是4的倍数,也就是2×2的倍数。

第三次报数后共留下2人,因为5÷2=2 ……1 ,这2人开始时的编号依次是: 8、16,都是8的倍数,也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人,因为2÷2=1 ,这1人开始时的编号是:16,都是8的倍数,也就是2×2×2×2的倍数。

由此可以发现,第n次报数后,留下的人的编号就是n个2的连乘积,这是一个规律。

2000名同学,报几次数后才能只留下一个同学呢?

第一次:2000÷2=1000 第二次:1000÷2=500

第三次:500÷2=250 第四次:250÷2=125

第五次:125÷2=62 ……1 第六次:62÷2=31

第七次:31÷2=15 ……1 第八次:15÷2=7 ……1

第九次:7÷2=3 ……1 第十次:3÷2=1 ……1

所以共需报10次数。

那么,最后留下的同学在一开始时的编号应是:

2×2×2×…×2=1024(号)

例3、 平面上有10个圆,最多能把平面分成几部分?

分析与解答:

直接画出10个圆不是好办法,先考虑一些简单情况。

一个圆最多将平面分为2部分;

二个圆最多将平面分为4部分;

三个圆最多将平面分为8部分;

当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时,第二个圆与第一个圆有2个交点,这两个交点将新加的圆弧分为2段,其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二,所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此,二个圆最多将平面分为2+2=4部分。

同样道理,三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此,三个圆最多将平面分为2+2+4=8部分。

由此不难推出:画第10个圆时,与前9个圆最多有9×2=18个交点,第10个圆的圆弧被分成18段,也就是增加了18个部分。因此,10个圆最多将平面分成的部分数为:

2+2+4+6+…+18

=2+2×(1+2+3+…+9)

=2+2×9×(9+1)÷2

=92

类似的分析,我们可以得到,n个圆最多将平面分成的部分数为:

2+2+4+6+…+2(n-1)

=2+2×[1+2+3+…+(n-1)]

=2+n(n-1)

=n2-n+2

以上是为大家分享的奥数计数问题之递推方法的解题技巧,希望能够切实的帮助到大家,并祝大家能够在考试中取得优异的成绩!

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