小升初：解竞赛题的金钥匙之六（整数问题） 
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整数的基本性质

(1)如果两个整数都能被同一个自然数整除，那么这两个数的和或差也 能被这个自然数整除。

如： 18 与 12 都能被 3 整除，所以 18 与 12 的和 30 也能被 3 整除， 18 与 12 的差 6 也能被 3 整除。

(2)如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个数的整数倍也能被这 个自然数整除。

如： 14 能被 7 整除，所以 14×5 的积 70 也能被 7 整除。

(3)如果一个整数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个整数能 被这两个互质数的积整除。

如：60 能被 3 整除，也能被 5 整除，3 与 5 是互质数，所以 60 能被 3×

5 的积 15 整除。

例 2 如果六位数□8919□能被 33 整除，那么这个六位数是多少? 解：设这个六位数为 W，并且它的十万位上的数为 x，个位上的数为 y(也

就是 W=x8919y)。

因为 33=3×11，3 与 11 是互质数，所以根据整数的基本性质(3)，可 得如果 W 能被 3、11 整除，那么 W 就能被 3×11=33 整除。

要使 W 能被 3 整除，必须使 x+8+9+1+9+y=27+x+y 能被 3 整除， 因为 27 能被 3 整除，如果 x+y 也能被 3 整除，那么根据整数的基本性质(1) 可得 27+x+y 能被 3 整除，从而 W 能被 3 整除。

要使 W 能被 11 整除，必须使(9+9+x)-(y+1+8)=9+(x-y) 能被 11 整除。

综合以上情况，得

x+y 能被 3 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)

9+(x-y)能被 11 整除⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2)

因为 x、y 均是 0～9 中的整数(x≠0)，所以，9+(x-y)=11，即 x

=y+2。

当 y=0、1、2、3、4、5、6、7 时， x=2、3、4、5、6、7、8、9。 由(1)，可得 y=2，x=4 或 y=5，x=7。 所以 W=489192 或 789195。 答：这个六位数是 489192 或 789195

例 3 下面这个 41 位数

55⋯⋯5□99⋯⋯9(其中 5 和 9 各有 20 个)能被 7 整除，那么中间方格 内的数字是多少?

(1991 年小学奥赛决赛题) 解：根据数的整除特征(6)，555555，999999 这两个数都能被 7 整除，

这样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的十八位数，也都能被 7 整除。