热点考题数的认识：数的整除

例1(广州市，2001)

在数2、3、4、12、15中，( )是质数，( )是一组互质数，( )和( )都是( )的质因数。

分析 2、3、4、12、15都是20以内的自然数，很容易看出2、3是质数，其余是合数。要找互质数，关键要考虑这5个数，每两个数一组共能组成几组?再从中找出互质关系的有哪几组，即2和3、2和15、3和4、4和15这四组是互质数，题中求谁是谁的质因数是指一个质数对一个合数而言，2是4的质因数，2也是12的质因数，3是12的质因数，3也是15的质因数，以上可知2和3都是12的质因数。

【解】 在数2、3、4、12、15中，(2、3)是质数，(2和3、2和15、3和4、4和15)是一组互质数，(2)和(3)都是(12)的质因数。

例2(南宁市，2001)

把90分解质因数，正确的形式是( )

A.90=2×5×9

B.90=3×3×2×5×1

C.90=2×3×3×5

D.2×3×5×3=90

分析 这题主要考查对分解质因数的意义及其方法掌握的情况。分解质因数的意义是把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，而A、B式中的9和1不是质因数;D式中把等号两边数的位置写反，违背分解质因数的意义。

【解】把90分解质因数，正确的形式是(C)

【说明】从上两例可以看出，要想正确解题，必须透彻地理解和牢记相关概念，如：质数、合数、互质数、质因数、分解质因数等，并能对易混淆的概念进行比较。如：原因数和因数，例2的A式中的9是90的因数，但不是质因数。

例3(天津市，2001)

三个连续奇数的积是315。这三个连续奇数是____________。

分析 这题一是考查对分解质因数的方法掌握情况;二是考查是否正确地掌握了连续奇数的概念。

【解】315=3×3×5×7，所以这三个连续奇数分别是5、7、9。

【说明】解题过程中除掌握基本概念外，还应掌握基本方法。凡是已知几个数的积求这几个数，马上应该想到分解质因数。

例4(德兴市，2001)

甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×7，甲、乙两数的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。

分析 这题主要是考查用分解质因数的方法求最大公约数和最小公倍数，最大公约数是甲、乙两数公有的质因数的乘积，2×3=6;最小公倍数是甲、乙两数公有的质因数和各自不同的质因数的乘积，即2×3×2×5×7=420。

【解】甲、乙两数的最大公约数是(6)，最小公倍数是(420)。

例5(南昌市，2001)

1.用0、1、5、3组成的能同时被2、5、3整除的最大四位数是( )。

2.12、1 8和24的最大公约数是( )。

分析 1题，此题是考查能被2、3、5整除的特征和数的组成。根据能被2、5的整除特征，这个四位数的末位数字应该是0、能被3整除的数的各数位上数的和能被3整除，0+1+5+3=9，能被3整除，要使这个数最大，从高位到低位，必须从大到小，所以是5310。

2题，求三个数的最大公约数。先将它们分解质因数，12=2×2×3，18=2×3×3，24=2×2×2×3，再把公有的质因数连乘起来，即2×3=6。

【解】1.最大四位数是5310。

2.最大公约数是6

例6(梅河口市，2001)

36和48的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。

分析 这题是考查两个数的最大公约数和最小公倍数的求法。一般是短除法。

【解】

1.最大公约数是把所有的除数连乘起来。36和48的最大公约数是2×2×3=12。

2.最小公倍数是把所有的除数和商连乘起来。

36和48的最小公倍数是2×2×3×3×4=144。

【说明】求几个数的最大公约数和最小公倍数，无论是用分解质因数法还是用短除法。应该把握最大公约数和最小公倍数概念的核心，最大公约数是几个数公有的质因数的乘积，最小公倍数是几个数公有的质因数和各自不同的质因数的乘积，才能不易混淆，不会出差错。

人大附中网校奥数试题：名师点拨热点考题4 
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