比如在“集合”的教学中，学生对“空集”的有关问题提出质疑，为什么要“把不含任何元素的集合叫做空集”?这是我始料未及的。此时若简单地用“这是规定”来解释，实际上就是一种搪塞，学生是决不会满意的，也失去了一次发展学生思维的良机。因此我放手让学生去争论，并在争论中给予启发、提示。结果，学生联想到许多有关问题。本来用幂的定义看“a0”，它们简直“不是个东西”，但规定了它们的含义后，指数运算法则就适用于更大的范围，数学理论变得更加顺畅、和谐和系统。基于此，空集的有关规定才能被学生所接受和理解。同样的情况也出现于“平面向量”的教学中，“为什么要规定零向量?为什么要规定零向量与任一向量平行?”在后继的学习中，对于“直线的倾斜角”和“直线与平面所成的角”等也有类似的讨论。
再如，在“椭圆”的教学中，学生开始就不同意用比值“c/a”、而执意主张用“c/a”作为“离心率”来刻画椭圆的扁平程度，并振振有辞地说：“b、a分别是椭圆的短半轴和长半轴的长，用它们的比值来刻画椭圆的扁平程度多么直观形象!”此时，我没有急于将自己(即课本)的意志强加给学生，而是让他们在以后的学习中慢慢去领悟。在学习了整个“圆锥曲线”后，我发现学生们不但自然接受了为什么要如此定义离心率，还深刻地理解和掌握了这个定义的意蕴。
(3)探究
学生的学习过程是一个永无止境的探究过程。《新课标》指出：“教学中，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流。教师要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程，”因此，根据学习内容，结合学生的知识水平，创设有利于学生进行探究研讨的问题情境，把教材中阐述的内容创造性地，组织成生动有趣的、有利于学生探究发现的研究材料，让学生从中自主掌握有关知识与技能，体验科学探究的乐趣，学习科学探究的方法，领悟科学的思想和精神，对于培养学生学会学习是至关重要的。
比如，对数函数是运用所学函数知识去加以研究的一个重要初等函数，而对数的运算法则是学习对数函数、研究对数函数性质的基础和工具，因而是教学中的重点，同时也是一个难点。在实践过程中，我有意识地把“对数的运算法则”设计为探究性课题，搞了一次“数学实验”，让学生4人一组，利用计算器，自定M，N的值，自主探究lgM、lgN、lgM+lgN、lgM-lgN、lgMlgN、lgM/lgN、lg(MN)、lg(M/N)、lg(M+N)、NlgM等之间的关系，并要求每一个小组选出一名组长，请他在探究结束后代表小组做汇报发言，向大家介绍小组的探究历程、交流实验心得、证明数学猜想。实践结果表明，学生们在“数学实验”中不仅兴趣高涨，而且通过计算、观察、归纳，发现了对数的运算性质，体验了数学发现、创造的历程，发展了创新意识，不仅认知结构得到发展，而且身心和品质也得到发展。正如他们自己所说：要“细心、严谨、耐心求真，勇于猜想，敢于实验。”、“通过自己的思考与实践所获得的知识更有趣，也更牢固。凡事都应认真对待，不能人云亦云，要自己探究个明白才能下结论。”
(4)实践
《新课标》“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”，要求“教学应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。”因此，教学中注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学的抽象过程，引导学生从数学的角度思考、提出、构造问题，鼓励学生去猜想、实践，学会主动寻求解决问题的方法，将探究性学习向课外延伸，这样做对激发学生的潜能、发展学生创造力、培养学生的应用意识和促进学生学习方式的转变是非常重要的。
(5)反思
所谓反思，就是从一个新的角度，多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考。《新课标》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知，……反思与建构等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。”同时提出，评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法。”荷兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化。”著名数学教育家波利亚也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”通过反思，可以深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律;通过反思，可以沟通知识间的相互联系，从而促进知识的同化和迁移，产生新的发现。因此，反思是一种积极的思维活动，在教学中引导学生学会积极的反思，对于培养学生学会学习是非常重要的。
比如在平时教学中，我要求学生从以下四个方面培养自己的数学反思能力，收到了较好的效果。
(1)建立学习档案。给自己建立学习档案，是养成良好反思习惯的途径。学习档案内容可丰富多样，如自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习失败的教训等。
(2)听课反思。没有反思的听课是被动的、肤浅的。反思老师讲解，从中学习思考问题的方法，学会捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。如对于极坐标系这节课，反思应主要集中在为什么要引入极坐标系、极坐标系与直角坐标系的特点有何不同，以求顺利掌握极坐标系处理问题的方法。
(3)解题反思。问题解答后对结论的正确性进行检验或提出疑问;是否还有其他解法或更佳解法;能否对问题的题设或结论进行变式;能否把当前的命题推广到一般情况;进一步考虑问题题设的完备性(充分性)及结论的精确性等。
(4)写数学周记。反思是一种习惯和意识，不断地反思，才会不断进步。课堂上教师示范解题的过程中学生自己想到但未与教师交流的问题;作业中对某些习题不同解法的探讨;学习情感、体验的感受等，都可以通过写数学周记(或数学日记)的形式宣泄出来、记录下来，它使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。
按照新课程标准的要求，转变学生的数学学习方式，是一项长期且艰巨的工作，但只要我们从小处人手，从一点一滴抓起，必将有利于学生数学素质的不断提高，有利于确保新课程改革的顺利进行。
下一篇：对新数学课程教学的探讨