3.2 模型的求解

沿袭前述线性模型的求解方法，令EU(l)对n偏倒数为0，得：

■=

■=■=0(9)

则有：

2λσ2fE(f)n2-[2λσ2fE(S)+2λσsfE(f)]n+2λσsfE(S)-E(f)=0(10)

在(10)式中，若E(f)=0，且风险厌恶系数λ≠0，则最优套期保值比为n=σsfσ2f，跟线性模型E(f)=0的情况一致，此乃农场主在完全不投机下的最优保值策略。若E(f)=0且λ=0，此时农场主的期望效用只与现货价格的预期变化E(s)有关，而与套保比例n无关。若E(f)≠0且λ=0，则(10)式无解，这与上述非线性模型(7)的情况一致，这是一种极度投机的情况。若λ≠0且E(f)≠0(实际情况大多如此，农场主厌恶风险且预测期货市场上谷物价格会有波动)，则(10)式化简为：

n2-(■+■)n+■-■=0(11)

由判别式

△=(■+■)2+■+■

=(■+■)2+■?准0(12)

得此时有两个实数解

n1，2=■(13)

该结果即是该农场主在大多情况下采用的最优套保比值。同时可以看出，最优套保比值跟农场主对期货价格预测E(f)，现货价格预测E(s)均有关系，在此，该农场主可以把自己对现货市场的知识运用到决策中去。下面对两个解的两种极端情况进行讨论：

(1)当期货与现货市场上谷物的价格完美关联(即s=f，E(s)=E(f)，σsf=σ2f=σ2s)，且农场主极度厌恶风险(λ→∞)时，△=0，此时(11)式化简为n2-2n+1=0;

得出农场主的最优套保比

n=1(14)

此时该模型就退化为传统(等额)套期保值模型。

(2)当期货与现货市场上谷物的价格完美关联，农场主保值者的风险厌恶度适中(λ即不为0也不为∞)时，(11)式化简为：

n2+2n+1-12λσ2f=0，(15)

n1，2=1±1■(16)

将(16)式代回(8)式计算得

EU(l)=μ■(17)

(3)当预测现货市场谷物的价格上升(E(s)φ0)时，说明现货头寸有利，农场主此时会相应减少一个保值分量1■σS，即取套期保值比为n=1-1■σS;

此时通过套期保值得到的最大期望效用