八．教  学  过  程：

（一）创设情境 提出问题

情景设置1:

师：班长，同学们都到齐了吗?

生：到齐了。(班长站起来，回顾了一下四周后回答)

师：那你是怎么知道全班同学都到齐了呢?

生：因为48个位置上都坐满了人呀。(显然对老师提这个问题感到奇怪)

师：很好，其实这个判断用了归纳法。我们不妨把班长回顾四周的动作分解成48拍。(此时，教室里热闹了起来。)

生：哦，我知道了。因为班长看到第一个座位上有人，第二个座位上也有人，这样一个座位一个座位地往下看，看到最后第48个座位上也有人。从而归纳出“人到齐了”这个结论。

师：太棒了!这就是我们在生活中不知不觉经常用到的归纳法。象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。(板书：归纳法)我们刚才通过一一列举，一个一个验证，最后得出“人到齐了”这个结论。这里人的个数是有限的，倘若研究的个体是无限个呢?

情景设置2:

师：我们来听个笑话吧：从前，有个叫万百千的小孩，家长送他上学，开始识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。到了第三天，他想先生一定是教“三”字了，并予先在纸上划了三横。果然这天就教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，万事大吉。从此，便不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他毫不犹豫得意地回答：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。(学生笑倒一片，在笑声中我又问)

师：万百千在学习上犯了什么错误?

生：一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。

师：仅考察部分特例而得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法，它不可靠，所得结论不一定正确。 “万百千”正是犯了这个错误。

情景设置3:

师：请同学们思考讨论这两个问题。(教师在屏幕上显示以下问题)

(1)一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2   容易验证，a1=a2=a3=a4=1，所以说：对任何n∈N，an=(n2-5n+5)2=1。上述判断正确吗?(2)若数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，那么 a1=a0+d,a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d，……由此可以得出它的通项吗?

生1：(1)中的判断是错误，可以举反例，如a5=25≠1。

(2)等差数列的通项为：an=a1+(n-1)d。

生2：我觉得由此得到等差数列的通项公式是不可靠的，是不完全归纳法，感觉就象“万百千”学字。只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。

师：不错。只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。那怎样来解决这种无法穷尽验证的命题的呢?如何用“有限”的步骤，去证明“无限” 的命题呢?这就是我们今天将要学习的数学归纳法。(投影并板书本节课课题   数学归纳法)

 

（二）新课讲授

师：有一列整齐排放的自行车，如果边上一辆无意中被碰倒以后，会发生什么情况?

生：后面几辆也会倒下去。

师：大家把准备好的小长方形木块拿出来，我们一起来做实验吧。

(随之，多米勒骨牌按一定间隔整齐地摆放在讲台上，把它当作自行车模型，边示范边作下面讲解。)

师：现在，我们把自行车放在我们的讲台上。(学生笑)这样排放好以后，要让他们全部倒下，应该怎么办?

生：只要推倒第一个就行了。

师：真的第一个倒了，其他就能倒吗?(我把第三个和第四个的间距拉得足够开)，这样能全部倒下吗?

生：不能。因为第三个和第四个的间距太大，相互碰不到，所以，只倒下了前面几个。

师：好，这就说明一个问题，要让他们全部倒下，必须先控制好他们每个之间的距离。也就是要保证做到：一个倒下去，后面一个也要被推倒。这是它们全部倒下去的依据、关键。

但是，如果我把距离控制好了，(把骨牌恢复原样)使它能保证这一点，但什么也不干，能保证它们全部倒下吗?

生：不能，当然还必须碰倒第一个。

师：只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌，前一个倒下一定导致后一块倒下。(板书：P(1)倒下;P(K)倒→P(K+1)倒)

师：请同学们思考：证明等差数列的通项公式与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?

(经引导后小结，多媒体显示)

多米诺骨牌游戏原理

通项公式的证明方法

(1)第一块骨牌倒下。

(1)当n=1时猜想成立

(2)若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。

(2)若当n=k时猜想成立，即…，则当n=k+1时猜想也成立，即… 。

根据(1)和(2)，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

根据(1)和(2)，可知对任意的正整数n，猜想都成立。

(学生回答等差数列通项公式的证明过程,由教师将学生回答的内容板书，师生共同总结出应注意之处。)

师： 所谓的数学归纳法证题时有两个步骤：(同时板书)(1)证明当n取第一个值时结论成立。即验证P(n )成立;(2)假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论正确，即由P(K)正确→P(K+1)正确;由(1)和(2)就可断定命题对于从n 开始的所有自然数n都成立。

同学们，是不是证明时这两个步骤缺一不可呢?为什么完成了这两个步骤就证明了对所有的自然数都成立?(同学们讨论后，请一位回答)

生：这个原理跟刚才的实验是一个道理，只要符合这两点，再多的骨牌都能倒下。1)证明P(1)为真;;2)证明命题“P(K)真ÞP(k+1)真”正确;由1)、2)命题知，原命题对一切n∈N均成立。

师：步骤(1)是验证，步骤(2)是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程，是证体题的关键，它保证这样一个过程：P(n )正确(验证)  P(n +1)正确→P(n +2)正确→…(同时板书)上述无穷链条一环扣一环，形象地说明了数学归纳法证明P(n)的正确性的过程。

说明：此处画龙点睛，多数学生至此都顿悟了数学归纳法的思想和方法，也在其个人的认知结构中，借助感性认识，建构了数学归纳法解题的模型。