“粟米之法：

粟率五十 粝米三十

粺米二十七 糳米二十四

御米二十一 小 十三半

大 五十四 粝饭七十五

粺饭五十四 糳饭四十八

御饭四十二 菽、荅、麻、麦各四十五

稻六十 豉六十三

飱九十 熟菽一百三半

糵一百七十五”[26]

这里，粟、粝、粺、糳的比为50：30：27：24。

《说文解字》米部则有以下的记录：

1“粝：粟重一 为十六斗太半斗，舂为米一斛曰粝。”

2“毇：米一斛舂为八斗也。”

3“糳：粝米一斛舂为九斗曰糳。”

4“粺：毇也。从米卑声。”[27]

据此则粟、粝、粺(毇)、糳的比为50：30：24：27。可见，粺、糳之比在《九章》和《说文》中是互换的。过去清代段玉裁等以《说文》误而《九章》是，并据《九章》而改动《说文》。1975年底湖北云梦睡虎地出土秦律记有：

“[禾黍一]石六斗大半斗，舂之为粝米一石;粝米一石为鑿(糳)米九斗;九[斗]为毁(毇)米八斗。”[28]

其中“禾黍一”系笔者据《说文》 字条“ ，百二十斤也。稻一 为粟二十升，禾黍一 为粟十六升大半升”及《算数书》“程禾”条(详下)补。括号内的字系指明通假。“鑿米九斗，九[斗]”原为作“鑿米九=斗”，“=”为重文号，整理小组认为“斗”下脱重文号，故补“斗”字。

裘锡圭先生指出秦简证明段玉裁等观点有误，《说文》中糳米的比率是正确的，《九章》的糳米率则有误[29]。《算数书》程禾条也有类似的记载：

“程曰：禾黍一石为粟十六斗泰(大)半斗，舂之为粝米一石，粝米一石为糳米九斗，糳米[九]斗为毁(毇)米八斗。”[30]

这进一步证明《九章》关于糳米的比率是错误的。

《算数书》中有“粺毇”、“粟为米”、“粟求米”、“米出钱”诸条提到粺米，根据这些条目，粟、粝、粺、毇的比为50：30：27：24。但《算数书》中没有一条涉及粺和糳的比例关系。经过比较不同条目中各种粮米的比率，可知粺和糳是同种精度的米，它们和毇的比都是27：24。《算数书》中有大量涉及毇米的问题，但在《九章》中毇却没有出现，与由粟舂的毇比率相同的是糳，而由稻舂出的毇在《九章》中没有对应物。由于《九章算术》是张苍、耿寿昌等精心编纂的著作，其中除极个别差错外极少有错误，粟、粝、粺、糳等的比例在全书各个问题中都是统一的，如果他们读过这部《算数书》，他们肯定会结合当时的实际和查阅有关的法律，来修正糳米的比率，并将毇米设计到问题中去，或者采用《算数书》中有关毇米的问题。而如果他们没有读过《算数书》，不加注意、将错就错地继承以前已经错误的数据和相关问题，并且没有想到有关毇米的计算方法和问题，则是完全可能的，也是自然的[31]。

以上我们证明了《算数书》没有直接对《九章》产生影响，当然更不可能是《九章》的前身或母本。当然我们这样说，并不意味着《算数书》一定没有对汉《九章》产生过间接的影响。《算数书》的部分内容如果辗转为汉《九章》的编者所见，并作为参考，这种可能性也是存在的。但这种可能性不是很大。因为》我们在历史文献中找不出《算数书》的踪迹，看不出它得到多大程度的传播。而且，即使《算数书》对《九章》产生了间接的影响，这种影响也是很有限的。这不仅因为《九章》的深度和广度远远超过《算数书》，而且因为(1)《算数书》只有少部分和《九章》内容相似，多数部分并不相似。(2)两书相似的部分在题设和表达及术语方面存在差异。(3)《算数书》中有若干比《九章》优越的地方[32]，没有被《九章》吸收。

三、《九章》的祖本可能对《算数书》产生过影响

现传西汉晚期编成的《九章》，比《算数书》至少晚一个多世纪，当然不可能对《算数书》有影响。不过，由于《九章》不是西汉一蹴而就的，它在西汉只不过是经过删补，被重新整理而已，所以我们不妨考虑一下《九章》的先秦祖本与《算数书》的关系。

首先我们考察一下《九章》的先秦祖本是一本什么样的书。

刘徽《九章算术注序》说：

“按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”[33]

刘徽说明，《九章》是渊源有自的一部经典数学著作，从周公时教授贵族子弟的“九数”，一脉相承地在先秦即发展为《九章》。它经过秦火而散坏，张苍、耿寿昌收集遗文残简，进行删补重编，并用当时的语言进行过改造。

笔者根据各种材料综合考察，西周时的“九数”(当时也可能不叫“九数”)，是以十进位值制记数法为主要的记数法，以“九九”为基础，基于整数四则运算的数学方法，大体含有郑众所列“九数”中方田、粟米、衰分、商功、均输、旁要的部分方法，但这些方法主要限于整数运算的范围，除比例外，较少涉及分数[34]。

关于西周时期有所谓“学在官府”之说，当时学术相对集中，“九数”传播的范围相对也会比较小。到春秋以后，社会结构和文化知识发生了变化，数学知识也会在更大的程度和范围内得到传播。同时，西周“九数”传统的算法式数学受到社会需要的刺激和思想解放的促进，发展成为郑众所列“九数”，形成了一个能处理各种复杂的数学问题，以基于分数的各种算法为构件的庞大的数学知识系统[35]，而先秦的《九章算术》(也可能不叫《九章算术》[36])应是这种数学知识系统的载体[37]。当然，由于时代的变迁，数学知识的内容发生着变化，所以，这本《九章》也是处在变动中，但它应始终代表着西周“九数”传统的算法式数学在后代的发展。即刘徽所谓“九数之流，则《九章》是矣”。

笔者曾指出的，《算数书》中所用的方法，明显不是原始的产生形态，而是利用已有的数学方法来解决问题。而且根据《算数书》一些简省的表述本身并不能让古人直接获得问题的解法，实际上这些简省的表述只是说明如何利用已有的方法解决问题，或者只是说明完整方法的若干环节而已。如《算数书》中的分乘分术、救(求)少广之术、盈不足术即是如此。特别是特别是其中盈不足问题，很难设想不知道《九章》术文时古人能解答，其为提示如何用既有的盈不足方法解答问题的用意十分明显[38]。考虑到《九章》的经典性和久远的渊源，我们认为《算数书》的作者们是在学习了《九章》祖本或其衍生本后，才写成这些内容的。[39]当然，其中除了套用《九章》的方法外，也有变通乃至创造，因而也有超越《九章》的地方。如《算数书》关于息钱计算的一般性方法，矰(增)减分条关于分数大小与分子、分母变化关系的讨论等。

当然，受先秦《九章》直接或间接的影响后有所精进的著作，其优点也会被先秦的《九章》在流传过程中吸收。现在所见汉《九章》之博大精深，大概也得益于此。《算数书》中少量比汉《九章》优越的地方，可能是由于这些内容一直未被《九章》的编者们见到，也可能是先秦《九章》中已有但流传过程中竹简受损，而汉代的编者又没有读过《算数书》的缘故。

总之，今传本汉《九章》和出土《算数书》之间没有直接的影响关系。《算数书》不是中国最早的数学著作，而只是汉《九章》以前存在过的多种数学著作中的一种，因而它虽能为我们认识上古数学提供宝贵的材料，但它并不代表当时数学的最高水平和全貌。《九章》是从西周“九数”发展而来的数学经典，它在春秋战国时代发展成为包含郑众所列“九数”的庞大的数学知识系统，战国后期的《九章》应和今传汉《九章》的内容差不太多，也就是说今传汉《九章》比《算数书》更能反映先秦数学的发展水平和概貌。春秋战国时期，《九章》这部经典著作直接或间接地影响到其他数学著作，《算数书》的作者们是在学习了它或其衍生后写成相应部分的。当然反过来，它也受到其他数学著作的影响，使自己处于调整、变动和提高中。但总的说来，它是给予大于取得。

[1] 李迪：《江陵张家山西汉墓墓主是谁?》，刊于《数学史研究文集》第四辑，呼和浩特：内蒙古大学出版社、台北：九章出版社，1993年7月。第5-9页。

[2] 李迪主编：《中国数学史大系·第一卷 上古到西汉》，北京：北京师范大学出版社，1998年9月。第292-301页。

[3] 沈康身主编：《中国数学史大系·第二卷 中国古代数学名著〈九章算术〉》，北京：北京师范大学出版社，1998年8月。第10-29页。

[4] 陈跃钧、陈燕萍：《算数书》与《九章算术》，刊于武汉大学学报编辑部《湖北省考古学会论文选集》(一)，武汉大学学报编辑部出版，1987年7月。第220-222页

[5] 曲安京主编：《中国古代科学技术史纲——数学卷》，沈阳：辽宁教育出版社，2000年7月。第2页。

[6] 宋述刚、陈彰栋：《试论荆州古代数学》，刊《荆州师专学报(自然科学版)》第18卷第5期(1995年10月)第27-29页。

[7] 朱启新等著：《文物与数学》，北京：东方出版社，2000年10月。第53页。

[8] 李兆华著：《中国数学史》，台北：文津出版社，1995年3月。第16页。

[9] 杜石然：《江陵张家山竹简《算数书》初探》，刊于《自然科学史研究》第7卷第3期(1988年7月)第201-204页。

[10] 李学勤：《中国数学史上的重大发现——江陵张家山汉简一瞥》，刊《文物天地》，1985年第1期第46-47页。

[11] 李继闵：《东方数学典籍〈九章算术〉及其刘徽注研究》，西安：陕西人民教育出版社，1990年3月。第16页。

[12] 张家山二四七号汉墓竹简整理小组：《张家山汉墓竹简[二四七号墓]》，北京：文物出版社，2001年11月。释文部分第249页。

[13] 彭浩：《中国最早的数学著作〈算数书〉》，《文物》2000年第9期第85-90页。

[14] 洪万生：《〈算数书〉初探》，刊《师大学报：科学教育类》第45卷第2期(2000年)

[15] 城地茂：《〈算数书〉成书年代》，《世界华人科学史学术研讨会会场论文集》合订本，淡江大学历史学系、化学学系，2001年3月。第129-138页。“源流”似是“源头”或“源泉”之误。

[16] 邹大海：《初观〈算数书〉》，刊《中国文物报》2001年3月14日第7版，又邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。又邹大海：《从〈算数书〉和秦简看上古粮米的比率》，刊《自然科学史研究》2003年10月第22卷第4期第318-328页。

[17] 郭书春：《试论〈算数书〉的理论贡献与编纂》，刊《法国汉学》第六辑，北京：中华书局，2002年第505-537页。又郭书春：《〈筭数书〉初探》，《国学研究》第十一辑，北京大学出版社，2003年6月。第307-349页。又郭书春：《〈筭数书〉与〈算经十书〉比较研究》，刊《自然科学史研究》第23卷第2期(2004年4月)，第106-120页。

[18] 邹大海：《初观〈算数书〉》，刊《中国文物报》2001年3月14日第7版，又邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。

[19] 郭书春：《试论〈算数书〉的理论贡献与编纂》，刊《法国汉学》第六辑，北京：中华书局，2002年第505-537页。又郭书春：《〈筭数书〉初探》，《国学研究》第十一辑，北京大学出版社，2003年6月。第307-349页。又郭书春：《〈筭数书〉与〈算经十书〉比较研究》，刊《自然科学史研究》第23卷第2期(2004年4月)，第106-120页。

[20] 胡平生：《阜阳双古堆汉简数术书简论》，刊《出土文献研究》第四辑，北京：中华书局，1998年，第12-30页。

[21] 吴九龙：《银雀山汉简释文》，北京：文物出版社，1985年12月。

[22] 郭书春认为郑众所列是先秦数学的九个部分，邹大海进一步认为是秦秋战国时代数学的九个科目。《算数书》由69个条目组成，整理者的编排虽把内容相近的条目排在一起，我们看不出原书有系统的分类，这与“九数”或《九章》的框架相去甚远。

[23] 邹大海：《中国数学的兴起与先秦数学》，石家庄：河北科学技术出版社，2001年9月，第131-132，第144-146页。邹大海：《睡虎地秦简与先秦数学》，第六届中国科学技术史学会代表大会(北京，2000年8月)及第九届国际中国科学史会议论文(香港城市大学，2001年10月)

[24] 彭浩：《中国最早的数学著作〈算数书〉》，《文物》2000年第9期第85-90页。

[25] 日本张家山汉简《算数书》研究会張替俊夫等认为整理小组释读为“郓”的字应释读为“斬”(见：張替俊夫「張家山漢簡『算數書』訳注稿」，刊《大阪産業大学論集 人文科学編》112号〈拔刷〉，2004年2月)。如此则更说明《算数书》和《九章》差异很大了。

[26] 郭书春：《〈九章算术〉汇校本》，沈阳：辽宁教育出版社，1990年，第323-324页。

[27] 许慎：《说文解字》，北京：中华书局，1987年，第146-148页。

[28] 睡虎地秦墓竹简整理小组：《睡虎地秦墓竹简》，北京：文物出版社，1978年，44-45页。

[29] 裘锡圭：《考古发现的秦汉文字资料对于校读古籍的重要性》，刊裘锡圭《古代文史研究新探》，南京：江苏古籍出版社，2001年，第18-20页。

[30] 彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社，2001.

[31] 参考邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。《从〈算数书〉和秦简看上古粮米的比率》，刊《自然科学史研究》第22卷第4期(2003年10月)第318-328页。

[32] 参考邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。特别是其中的比较表。

[33] 郭书春：《〈九章算术〉汇校本》，沈阳：辽宁教育出版社，1990年，第177页。

[34] 邹大海：《中国数学的兴起与先秦数学》，石家庄：河北科学技术出版社，2001年，第74-87，126-160，498-513页。

[35] 邹大海：《中国数学的兴起与先秦数学》，石家庄：河北科学技术出版社，2001年，第74-87页。

[36] 《汉书·律历志》“备数”节说“数者，一、十、百、千、万也，所以算数事物，顺性命之理也。……其算法用竹，径一分，……，大衍之数五十，其用四十九，成阳六爻，得周流六虚之象也。夫推历生律制器，规圜矩方，权重衡平，准绳嘉量，探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，权轻重者不失黍累。纪于一，协于十，长于百，大于千，衍于万，其法在算术。宣于天下，小学是则。职在太史，羲和掌之。”(班固：《汉书》，北京：中华书局，1990年12月，956页)。这里的“算术”似乎是一本书，或者与先秦的《九章》有关。《周髀算经》载陈子答容方问说天地太阳的大小，大阳星星的距离等问题都是“算术之所及也”(钱宝琮校点：《算经十书》，北京：中华书局，1963年，第24页)，此处的“算术”似乎不是一本书，但也可能与先秦的《九章》有关。

[37] 参考邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。

[38] 参考邹大海：《初观〈算数书〉》，刊《中国文物报》2001年3月14日第7版。

[39] 参考邹大海：《初观〈算数书〉》，刊《中国文物报》2001年3月14日第7版。邹大海：《出土〈算数书〉初探》，刊《自然科学史研究》第20卷第3期(2001年7月)193-205页。

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