三、反思一题多解，培养思维的灵活性

对于同一道题，从不同角度分析研究，可能会得到不同的启示，引出多种不同的解法。解完一道题，要善于引导学生根据题目的特征进行多角度观察、反思:是否有更一般的方法?更特殊的方法?沟通其他学科的方法?这些方法各有什么特征?方法之间有什么联系?通过对不同解法的比较，找出哪个是更合理、更简捷的解法或者是直入本质的方法.

例3 已知 ，求 的最大值.

分析1：把 看成两个数，在这两个数的平方和为1的条件下，求这两个数的和的最大值.于是想到不等式法：

解法1：

，  的最大值是 。

分析2: 把 看成点的坐标，则条件 可看成P 是以原点为圆心，半径为l的圆上的动点.问题是求圆上某点的横、纵坐标的和，使其最大.于是得到换元法：

解法2  ， 设 ( 为参数)

的最大值是 .

这里把圆 改写为圆的参数方程，实际上是用换元法将圆的问题转化为三角函数问题求解.

分析3:如果把 扩展为  看成一个平面区域(圆)，则可用线性规划思想进行求解.

y

解法3 设  ，当且仅当  与圆相切于P(如图)时， 最大.

P

由点到直线的距离公式得 ，

L:x+y=m

O

x

取 ，所以 的最大值为 。

这里也可用直线方程与圆的方程组成方程组，消去一个字母，利用 求解.(可叫做判别式法).

分析4:如果把条件变形为

则要求的结论是求 的最大值.

用函数的思想解决问题，要注意函数的定义域，要注意数学思维的严谨性：如不能记 (它不是一个函数)，因为 ，所以

所以，只需求函数 的最大值(求法从略).

四、反思变式拓展，培养思维的创造性

问题解决后，对题目的条件进行适当的变化，对设问内容进行延伸转化，对命题方向进行改变，对知识内容进行拓展等变式训练，不仅能加强对基础知识的理解与运用，而且能拓宽深化解题思路，探索解题规律，增强应变能力，实现举一反三，触类旁通，培养创新能力。教师可引导学生作如下反思：这个问题有哪些等价变式?由这个问题的条件还可以得到哪些结论?改变一下条件可以得出哪些结果?这个问题的逆问题是否成立?偶然中是否隐含着某种必然的规律?能否将这个问题作出推广?是否可作类比引申或者拓展延伸?

例4 求证：如果定义在R上的函数  是周期为4的周期函数，对一切  都有  ，那么  是偶函数。

通过对这一问题的变式拓展可引导学生得出下列结论：

(1)如果定义在R上的函数  是周期为4的周期函数且为偶函数，那么  对一切  都成立。

(2) 如果定义在R上的函数  为偶函数，且对一切  都有  ，那么 是周期为4的周期函数。

(3)如果函数  是定义在R上的偶函数，且图象关于直线   对称，那么  是周期为  的周期函数。

(4)如果函数  是定义在R上的偶函数，且是周期为  的周期函数。那么  的图象关于直线   对称。

(5)如果函数  是定义在R上的奇函数，且图象关于直线   对称，那么  是周期为  的周期函数。

(6)如果函数  是定义在R上的奇函数，且是周期为  的周期函数。那么  的图象关于点  对称。

(7)如果定义在R上的函数  的图象分别关于直线  和  (  )对称，那么 是以  为周期的周期函数。

(8)如果定义在R上的函数  的图象分别关于点  和  (  )对称，那么 是以  为周期的周期函数。

(9)如果定义在R上的函数  的图象分别关于点  和  (  )对称，那么  是以  为周期的周期函数。

(10)如果定义在R上的函数  的图象关于直线  (  )对称，且是周期为  的周期函数，那么  的图象关于直线  对称。

在教学中，我们不能以一个问题的解决作为终点，而是要反复深入地对已有结论、认识以及思维活动的形成过程，进行富有创造性的再思考.把问题从特殊引申到一般，在探究过程中培养学生思维的创造性.

五、反思相关问题，培养思维的广阔性

每个数学问题都不是孤立无缘的，解题活动中必然要与一些曾经见过或似曾见过的相关问题发生联系，解题结束后要引导学生对解题活动有联系的问题进行反思：整个解题活动与哪些问题有联系?比如是题目的背景有联系，还是题目本身有联系(包括条件之间的联系或结论之间的联系)?还是用来解决问题的知识、思想、方法、策略有联系?具体发生了怎样的联系?从中能否概括出一些经验或者规律来?通过对与解题活动有关联的问题进行反思不仅可以挖掘知识间的内在联系，而且可以促进知识的同化和迁移，有利于帮助学生建立合理的知识结构体系，起到举一反三、融会贯通的作用.

参考文献：

1、官正群，袁治海.从一道例题谈数学思维能力的培养【J】. 中学数学2009年第4期·高中版.

2、林婷.“错误资源”的有效教学策略【J】. 数学通报 2010年第11期

 

相关推荐链接：

哲学  教育  语言  文学  历史  文化