二、概念教学中例题设计的对策与原则

1.例题设计要重视教材开发

教材是众多数学家、数学教育家集体智慧的结晶,具有很强的权威性和指导性,但教材中的概念、公式、定理等多数都是以具有较强的抽象性、概括性的“学术形态”知识呈现出来,在教学中我们须钻研透教材,吃透教材中的概念、公式、定理等,并将其转化为易于学生理解的“教育形态”知识,挖掘、开发出其潜在教学功能.如:

案例4 江欣怿老师在教授“抛物线”一课时,对课本例题进行了二次开发,设计了以下例题,并收到了良好的教学效果:

题1 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,求点P的轨迹方程.

学生根据抛物线的定义,利用直线移动的方法,可以快速得到轨迹方程为:

=8x(x≥0).

题2 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+1=0的距离大1,求点P的轨迹方程.

同上,可以得到轨迹方程为:

=8x(x≥0).

题3 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大2,求点P的轨迹方程。

部分学生由于思维定势,马上想到利用抛物线定义得出结论:

=8x(x≥0).

显然从图象上可以看出,x轴负半轴上的所有点也是满足条件的.所以方程有两个:

=8x(x≥0)和y=0(x<0).

其实由求轨迹的一般方法,列式

追问 题1与题2为何只一个方程?是否漏解呢?

题4 在一个平面内,点P与点F(2,0)的距离比它到直线x-1=0的距离大3,求点P的轨迹方程.

此题利用列式计算求出轨迹方程:=8x(x≥1)和=-4(x-3)(x<1)已经没有困难;在利用几何方法的过程中,移动直线的关键是为了让动点到直线的距离与到定点的距离相等,除了考虑将直线x-1=0左移三个单位,将直线右移三个单位也有轨迹是满足条件的,轨迹图象如图3,为两部分抛物线叠加的轨迹.

从课堂效果上来看,此例题的设计激发了学生极大的学习热情.通过自主探究,学生不仅对抛物线的定义有了更深刻的理解,并且对“数缺形时少直观、形缺数时难入微”的数形结合思想有了深刻认识,加强了学生以形助数,以数想形的意识.

2.例题设计要注重循序渐进

一道例题能否激发学生的兴趣,让学生积极的参与,首先取决于提出的问题能否引起学生的认识冲突、能否引起学生思想上的共鸣.每一个问题都应建立在学生已有的认识基础上,并为他们留出思考的余地.俗话说:温故而知新.学过的知识需要不断地加以应用和巩固,学习新知识时更要注意与旧知识进行呼应和比较.如:

案例5 在学习了“几何概型”概念及计算公式之后,为了突出古典概型与几何概型的比较与选择,可以设计如下例题:

题1 已知x,y∈[0,6]且x,y∈N.求事件“x-y≥3”的概率.

题2 已知x,y∈[0,6]且x,y∈R,求事件“x-y≥3”的概率.

此例题的设计重在突出新旧知识之间的联系与差别,前后呼应、循序渐进,突出了从古典概型到几何概型,是从有限到无限的延伸,原来枯燥的讲解说教被题目中这一字改动,尽在不言中了.

3.例题设计要聚焦概念核心

例题的设计要有助于概念理解,有助于概念应用,应把设计的着力点聚集在概念的核心上.通过例题的解决,达到帮助学生理解概念的本质目的.如:

案例6 讲完函数概念后可以选择这样的例题来帮助学生深化概念:

题1 表1中的数据是同学们在做水龙头验时收集的.量杯的最大容量是100毫升.

(1)如果继续试验,多少秒后量杯里的水会满而溢出?

(2)这是一次函数吗?请解释.

题2 小张和小李一起做水龙头漏水实验.他们每人将收集的数据描在了直角坐标系中,如图4所示,是什么原因导致了他们所画的图象不同?如图5,关于水龙头漏水实验数据的图象,该图象说明了什么?

这样的例题,函数味道很浓,“变量”“一个量随着一个量的变化而变化”“对应关系”“变化规律”等,都得到了充分体现.问题聚焦于概念的理解和应用,只要理解了概念就能回答,而不是给学生设置“陷阱”,在与函数概念没有太大关系的问题上制造麻烦.这类例题更有助于学生理解概念的本质,能让学生感受数学的作用,对能力的培养也更全面.

4.例题设计要渗透思想方法

例题设计要使得学生能从看似平淡的文字描述、符号推演中挖掘其内涵.领悟出其深刻的数学思想,如果只是把例题看成解题技能的示范,那么教学必然缺乏“数学味”.如:

案例7 在学习了“等差数列及其前n和公式”后,教材(人教版必修5第44页)设计了:

教材通过进行求解,并没有对例题中蕴涵的数学思想方法用文字直接加以阐述.但我们能从这样的例题设计中发现,教材的设计意图在于引导学生用函数的思想来研究数列,即从数形结合的观点出发,利用数学分类讨论的思想对进行分类得到的表达式,可以是常数(由0组成的数列),可以是n的正比例函数(如由非零常数组成的数列),可以是关于n的二次函数(图象经过原点),从而使学生发现知识间的内在联系,学会用联系的观点来学习数学.这种以思想方法为主线来串联、设计例题,即能真正发挥例题的功能与价值.我们应该充分认识例题在概念学习中的功能与价值,把握概念教学中例题设计的关键与原则,在深刻理解数学概念的基础上做到深入浅出。

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