∴PN=QN.

这个例子说明,对综合法与解析法有再认识的必要. 黑格尔在《小逻辑》中指出:哲学的方法既是分析的又是综合的. 恩格斯在《自然辩证法》中指出:“归纳与演绎正如分析和综合一样是必然相互联系着的,我们不应当在两者之中牺牲一个而把另一个高高地抬上去,我们应当力求在其适当的地方来应用它们中间的任何一个. 而要做到这一点,就只有注意到它们的相互联系,它们的相互补充. ”尽管数学解题中的解析法、综合法与哲学方法中的分析法、综合法内涵不完全一致,但作为探讨研究问题的两种方法而言,黑格尔和恩格斯的论述深刻地揭示了二者之间的关系.

从哲学的观点看,综合法与解析法同等重要,而且是相互联系,相互渗透的. 但在应用中为什么综合法会被冷落呢?原因之一是,我们面对的数学问题大多是若干条件导出某一结论,这种条件众多,结论单一的状态使人感到从结论想方便些. 原因之二是对综合法的认识仅从表面上看是从已知到未知,而没有真正理解作为一种思维形式的真正本质所在. 仔细研究,综合一词的解释是“将若干个东西聚起来”的意思,而用好综合法的关键也恰恰在于“综合”思考的能力. 很明显,单一地从一个条件进行讨论和推导,其结果远不如综合若干个条件的讨论和推导来得深刻. 因此综合法解释为“综合各个条件进行推导,最后导出所要的结果”,也许更为准确一些.

例2设,b和c是整数. 若P(x)是的一个因式,也是的一个因式,那么P(1)是多少?

方法1条件分开考虑. 必可分解成两个二次多项式的积,

,

所以P(x)或者是,或者是. 由于不好分解,故可用或去除之,视结果就可以判定谁是P(x). 此方法较繁.

方法2将两个条件综合思考. 既然P(x)是两个多项式的公因式,因而也是这两个多项式的线性组合

的因式. 注意P(x)是二次多项式,故可取,所以P(x)也是

的因式.

注意条件与条件之间的结合是用好综合法的一个关键. 但从“综合”的意义讲,除了条件与条件的结合思考,还有条件与结论的结合思考. 在以已知条件为主进行推演时,随时注意结论的需要,这也许是减少综合法的盲目性的重要方法.

例3 在△ABC中,已知△ABC的三边满足

(1)

(2)

求△ABC的最大内角.

解 结论是求三角形的最大内角,已知是三边的关系,因此应确定三角形的最大边,然后再用余弦定理.

从代数角度看条件(1)(2),可以用其中一个变量表示其它两个变量. 再从a、b、c在(1)(2)中出现的形式看,用a表示b、c,将(1)(2)分别化为

由(4),有,

故c>b(不忘确定最大边的目标).

由(3)(4)解出

下一步显然应讨论a与c的大小关系,

(7)

为此必须确定a的变化范围. 由(3),有a 2-a>0,所以a<0或a>1. 与(7)结合仍不能确定a、c之间的大小关系,再找结合点. 由(5),有

因为a>0,所以a>3,故由(7)得c-a>0,c>a. 于是,c是△ABC的最大边.

即△ABC的最大内角是.

例4 已知,求证:.

解 已知与未知存在一次与二次的差异,首先考虑从已知导出b2来.

将已知条件改写为,

平方,得,

要与结论结合,故写成 .

只要证明非负即可,显然,它应是完全平方式.

故.

我们可以得到一个结论:用好综合法的关键是有意识地将已知与已知、已知与结论联贯起来思考. 这正是辩证法在数学解题中的体现. 恩格斯在《自然辩证法》中对辩证法有一个最简洁明了的解释:辩证法就是从事物是互相联系的观点观察事物. 数学问题中,已知与已知之间、已知与未知之间是必然存在着互相联系、互相转化的和谐统一关系的,揭示和建立这种和谐关系正是解题的关键所在.

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