“直线型”总结(熟记)

①两岸型：

第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是(2n-1)S。

第n次背面追及相遇，两人的路程差是(2n-1)S。

②单岸型：

第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。

第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。

下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：

{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。

【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B

60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?

A、150 B、170 C、180 D、200

【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。

{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。

【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。

两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则

从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?

A、2 B、3 C、4 D、5

{模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。

【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，

则A、B相距多少千米?

A、95 B、100 C、105 D、110

【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象(也可以以乙)，第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程可走19×2=38份。7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份(当商是偶数时从甲的一端数，0也是偶数;当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端)从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为(2×18-1)×2=70份。共有70÷7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：

则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为(60/4)×7=105千米。

点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。

【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行

45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，

则A、B相距多少千米?

A、90 B、180 C、270 D、110

【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为45：36=5：4，则将全程分成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数为2×2-1=3个，则甲走的份数为3×5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数转化为全程的个数为15÷9=1…6份，则从乙端数6份。第3次相遇走的份数为(2×3-1)×5=25份，转化为全程的个数为25÷9=2…7，则从甲端数7份。如下图：