2015年公务员考试行测数量关系：了解有趣的方阵问题

行程问题是每年公务员考试行测数量关系专项中的必考题型，许多考生在复习行程问题时投入了大量精力，然而一些考生投入精力虽大，效果却不甚理想。究其原因，主要在于近年来公务员考试中行程问题的考察方式灵活多变，导致一些考生复习时无法抓住重点，往往是捡了芝麻丢了西瓜。多次相遇问题是行程问题中比较重要且复杂的题型，如何能在考场上快速解答这类问题，并得到正确答案呢?在这里，与广大考生共同探讨一下快速解答此类问题的方法：画图法。

由于此类问题的相遇过程复杂，难以用公式进行深入直观的分析，如能巧妙地引入画图法，就能达到化繁为简、化抽象为形象的效果。

真题一：A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次相遇。问A、B两校相距多少米?( )

A.1140米 B.980米 C.840米 D.760米

解析：答案选D。这是一道二次相遇问题，相遇过程如图所示。设小李与小孙第一次相遇地点为C，第二次相遇地点为D。则小李与小孙第一次相遇时，两人走过的路程和为AC+BC=AB(如图红线所示)。小李与小孙从第一次相遇开始至第二次相遇为止，两人走过的路程和为BC+BD+AC+AD=2AB(如图蓝线所示)。因此，小李和小孙两人从开始出发至第二次相遇时所走的路程为3AB=12×(85+105)，得AB=760。

在军事检阅的时候，会要求解放军排着整齐的方队接受检阅，必须按一定的规则排成一定的队形，于是公务员考试行测中就产生了这样一类数学问题：方阵问题，就同大家一起来研究和分析这类问题。

一、方阵问题特征

例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?

例2.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?

以上两道例题就是方阵问题，那方阵问题要怎样来解决呢?这就需要大家先对方阵问题进行研究，看看方阵问题到底是什么?

观察上面两个题目我们可以看到方阵问题的考察主要有这样几个方面：

(1)给出了方阵的外围人数，求方阵共有多少人?

(2)给出了方阵的总数量，求最外层的数量?

那这两个问题要怎么样解决呢?在解决这个问题之前，我们先来看下它有什么样的特点，假设这里有一个n×n方队:

从图中可以看到：

(1)方阵不论哪一层，每边上的人数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2;

(2)每边人数和四周人的关系

方阵的四周每边都有4人，但是每边头尾的两个人是可以继续计算在相邻边的人数中的。如果每边人数乘以4的话，会多出4个人，如果每边人数正好少算一个的话，乘以4就是真正的四周的总人数了。

所以四周人数=(每边人数-1)×4

相应的：每边人数=四周人数÷4+1

(3) 方阵的总人数如何计算

对于方阵总人数的计算，要分成实心方阵和空心方阵两种情况：

若是实心方阵，每行的人数都是相等的，为n，一共有n列，所以总人数就是n×n，即实心方阵的总人数=每边人数×每边人数;

若是空心方阵的话，要想直接计算就比较困难。可以按照这样的思路考虑：空心方阵是这样构成的，即整个实心的大方阵减去中间的部分，而中间空白的部分其实还是实心方阵。所以只要分别计算这两个实心方阵，再相减就可以了。

空心方阵的总人数=最外层每边人数²-空心方阵的层数²

二、方阵问题解法

我们在了解了方阵的特征之后，就来看一下具体的方阵问题怎样求解。

先来看第一种，给出了方阵的外围人数，求解方阵共有多少人?

例1.三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?

分析：根据四周人数与每边人数的关系可知:

每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。

解：(1)方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6(人)

(2)整个方阵共有学生人数：6×6=36(人)

答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。

再来看第二种，给出了方阵的总数量，求最外层的数量。

例2.有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?

分析：首先，第一问，问方阵最外层的杨树和柳树的数量是多少。我们就先计算最外层一共有多少棵树。

由题目易知：最外层数量=(7—1)×4=24棵，又因为杨树和柳树是间隔种植的，所以杨树和柳树各有12棵。

第二问：方阵中共有杨树和柳树多少棵，由于我们的树苗每行和每列都是奇数，所以先种杨树还是先种柳树对最后的数量是有影响的，我们要分情况讨论：

由于每行种植的树苗的数量为7棵，又是间隔种植的，所以种植的数量就是杨树和柳树一个种3棵，另一个种4棵。

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