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错位重排问题是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?

解析：假设用Dn来表示n封信进行错位重排的方法数，我们不难得出以下结论：

(1) n=1, D1=0;1封信是不能进行错位重排的;

(2) n=2，D2=1;2封信的时候只能相互对调只有1种方法;

(3) n=3，D3=2×(D1+D2)=2×(0+1)=2;

(4) n=4，D4=3×(D2+D3)=3×(1+2)=9;

(5) n=5，D5=4×(D3+D4)=4×(2+9)=44;

(6) n=6，D6=5×(D4+D5)=5×(9+44)=265;

(7) n=n，Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1);

对于第一封信只要不装在1号信封即可，因此有n-1种装法，剩下的还有n-1封信没有装信封，其有两种情况。第一种情况：假设第一封信装进2号信封，第二封信装进1号信封，则此时剩下n-2封信件，这些信件再进行错位重排有Dn-2种方法;第二种情况：假设第一封信装进2号信封，这时候将其拿出，那最后剩余n-1封信，满足编号2不放1号信封、3号不放2号信封，则变成n-1封信的错位重排，因此有Dn-1种装法。我们都知道排列组合是建立在分类分步思想之下的，因此n封信件的错位重排就是Dn=(n-1)×(Dn-2+Dn-1)。在考试中一般n 6,因此大家在做题时只要能区分题型，记住n=1,2,3的错位重排数即可，按照我们的结论再难的题也能够通过简单的计算得出。

下面主要通过几个练习题来巩固一下错位重排的结论。

例1：四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜，现在要求每个人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜，问共有几种不同的尝法?

A.6 B.9 C.12 D.15

【答案】B。解析：此题为4个元素的错位重排有9种方式，故选B选项。

例2：编号为1至6的6个小球放入编号为1至6个盒子里，每个盒子放一

个小球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有多少种?

A.9 B.35 C.135 D.265

【答案】C。解析：选取编号相同的两组球与盒子的方法为 =15种，其余4组球与盒子进行错位重排为9种方法，因此总的排序方式为15×9=135种，故答案选C。

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