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一、立体图形的表面积和体积

例题1：一个长方体模型，所有棱长之和为72，长、宽、高的比是4∶3∶2，则体积是多少?

A.72 B.192 C.128 D.96

解析：此题答案为B。所有棱长(长、宽、高各4条)之和为72，即长+宽+高=72÷4=18，已知长、宽、高的比是4∶3∶2，所以长为8、宽为6、高为4，体积=8×6×4=192。

例题2：一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?

A.长25厘米、宽17厘米 B.长26厘米、宽14厘米

C.长24厘米、宽21厘米 D.长24厘米、宽14厘米

解析：此题答案为C。该长方体的表面积为2×(20×8+20×2+8×2)=432平方厘米，这张纸的面积一定要大于长方体的表面积，选项中只有C项符合。如图所示，实线部分可折叠得到题中盒子，说明这张纸能将这个盒子完全包裹起来。

二、立体图形的切割和拼接问题

考试中题目出现的求切割和拼接后的面积、表面积和体积变化问题，遵循以下原则： 立体图形切割，则总表面积增加了截面面积的2倍;拼接则总表面积减小了截面面积的2倍。

例题：将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则大长方体的表面积是：

A.24平方米 B.30平方米 C.36平方米 D.42平方米

解析：此题答案为D。正方体每个面的面积为36÷6=6平方米。

将正方体平分以后，表面积增加6×2=12平方米;拼成大长方体后，表面积减少2×(6÷2)=6平方米，因此大长方体的表面积为36+12-6=42平方米。

快速突破：在切割和拼接过程中，体积不变。根据体积一定，越趋近于球，表面积越小，可知大长方体的表面积大于36平方米，只有D项符合。

三、物体浸水问题

物体浸入水中，水面会上升，水的总体积不变，因此水的变化高度=浸没体积÷容器底面积(行测考试中容器一般为规则立体图形)即物体浸入前后，水的体积变化等于该物体浸入水中的体积。

例题：现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中。如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为：

A.3.4平方米 B.9.6平方米 C.13.6平方米 D.16平方米

解析：此题答案为C。边长为1米的正方体可以分割成1÷(0.25)3=64个边长为0.25米的小正方体。

如果把边长1米的木质正方体放入水里，与水直接接触的表面积为1×1+0.6×1×4=3.4平方米

由于小立方体浸入水中的总体积与正方体相同，所以每个小正方体浸入水中的比例与立方体相同。因为小正方体的边长是正方体的1/4，所以其与水直接接触的面积是大正方体的1/16，其总共与水直接接触的总面积为64×3.4×1/16=3.4×4=13.6平方米。

四、立方体染色问题

假设将一个立方体切割成边长为原来的1 / n的小立方体，在表面染色，则

(1)三个面被染色的是8个顶角的小立方体;

(2)两个面被染色的是12(n-2)个在棱上的小正方体;

(3)只有一个面被染色的是6(n-2)2个位于外表面中央的小正方体。

(4)都没被染色的是(n-2)3个不在表面的小立方体。

例题：一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?

A.296 B.324 C.328 D.384

解析：此题答案为A。边长为8的正立方体共有8×8×8=512个边长为1的小正立方体，不在表面的小正立方体共有6×6×6=216个，所以被染色的小正方体的个数为512-216=296。

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