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2014年国家公务员资料分析模板宝典

近似误差与选项差异

近似的计算会产生一定的误差，那么这种误差会不会对最后结果的判定产生影响呢?这取决于近似误差(“近似误差”指的是数字近似后产生的相对误差，在与“选项差异”进行大小比较时，指其绝对值)与选项差异之间的相对关系，通俗地讲就是：选项差别大，估算可大胆;选项差别小，估算需谨慎。但做题需要的不仅仅是方法的选择，更需要的是准确的答案。

首先，要明确什么是“相对差异”。以两个数字当中较大的数字为真实值，较小的数字为估算值，这样计算得到的“相对差异”的绝对值，称之为这两个数字之间的“相对差异”。如“4”和“5”，以5为真实值，以4为估算值，得到的“相对差异”为“-20%”，那么我们就说“4和5之间的相对差异为20%”。再如，9和12之间的相对差异为25%，15和18之间的相对差异为16.7%等。

其次再来了解什么是“选项差异”。所谓“选项差异”，是指四个选项中任意两个数值之间的“相对差异”的最小值。做题时，只需考虑相邻数字之间(是指大小相邻，而非位置相邻)的相对差异。看一看下面的选项设置：

A. 20B. 24C. 28D. 32

先考虑相邻数字之间的相对差异：20与24之间的相对差异为16.7%，24与28之间的相对差异为14.3%，28与32之间的相对差异为12.5%。因此，本选项设置下的“选项差异”就是12.5%。事实上，对选项差异的计算也只需要得到一个大致的值，并不一定需要计算得非常精确。

在了解了“选项差异”之后，就可以在近似计算中控制近似误差，使其不至于影响最后结果的判定。再来看一个例子：

【例3】706.38÷24.75=( )。

A. 20.5B. 24.5C. 28.5D. 32.5

【答案】C

【解析】通过大致估算，“选项差异”高于10%，那么在近似计算中产生1%左右(或以下)的误差不会影响到最后结果的判定：

706.38÷24.75≈700÷25=28

由“706.38”近似到“700”减小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增加了1%左右，这样的近似不会影响到最后结果的判定，“选项差异”在10%以上。因此，选择和28相差最小的数字“28.5”，即选择C。

通过对例题的分析可以得出，近似估算若要不影响最后结果的判定，“近似误差”必须比“选项差异”要小，但具体要小到什么程度呢?参考下表：

选项差异÷近似误差4倍以下4—9倍9—50倍50倍以上

估算建议不建议使用注意控制误差选择近似值忽略误差

资料分析中的乘除计算，一般是2-3个数字的计算，当“选项差异”不到“近似误差”的4倍时，多个数字的“近似误差”就很可能影响到最后结果的判定，这时不建议使用这种精度的估算。当“选项差异”为“近似误差”的4-9倍时，一般会进行“有向误差分析”或者“误差抵消”以提高精度，这种方法在后文中将有专题进行讨论。当“选项差异”为“近似误差”的9-50倍时，选择离估算结果最近的值即可，因此，做题时最好将“近似误差”控制在选项差异的1/10左右(或以下)，一般情况下，没有必要进行更高的精度计算。当“近似误差”不到“选项差异”的“1/50”时，得到的结果可以直接作为正确答案。

【例4】38716÷84397=( )。

A. 35.37%B. 40.74%C. 45.87%D. 49.34%

【答案】C

【解析】初步估算，选项差异在10%左右，可以对原数字进行1%左右(或以下)的近似：38716÷84397≈39000÷84000≈46%，选择最接近的值，即C。

【例5】9.503×5.837=( )。

A. 50.44B. 55.47C. 59.98D. 60.28

【答案】B

【解析】C和D之间的相对差异很小，且9.503×5.837<10×6=60，所以D选项可以直接排除不予考虑。而A、B、C之间的“选项差异”在7%以上，可以对原数字进行0.7%左右(或以下)的近似：9.503×5.837≈9.5×5.8=55.1，选择最接近的值，即B项。

【例6】6405÷79934=( )。

A. 4%B. 6%C. 8%D. 10%

【答案】C

【解析】6405÷79934≈6400÷80000×100%=8%。“选项差异”为20%，近似误差低于1‰，因此误差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最终的真实值。

对本部分进行总结：在进行近似估算之前，先分析“选项差异”，然后在近似中将“近似误差”控制在“选项差异”的“1/10”左右(或以下)，最后选择与计算结果最接近的选项即可。这样一来，似乎所有的近似估算都变得特别简单，然而，如果一个问题没有解决，计算仍然没有得到实质的简化，这个问题就是：如何快速判断近似估算的“近似误差”(如将5.837近似为5.8，“近似误差”到底是多少)，只有解决这个问题才能准确进行“选项差异”的估算。

五、近似误差的估算

在学“近似误差”的估算之前，先清楚两点：

1.对“近似误差”的分析只需要也只能进行“估算”，精算是没有必要也是不可行的;

2.“近似误差”一般分成两档：“1%-10%”与“1‰-10‰”，明显低于1‰很多的一般可以忽略，明显高于10%很多的情形在近似中一般也很难见到。

在实践中，一般运用“左移两位百分法”估算“1%-10%”左右的“近似误差”。如，当判断将“42.83”近似为“42”时产生了多大的“近似误差”时，先将绝对误差(不考虑正负号)“0.83”左移两位变为“83.00”，再与原数“42.83”进行比较，大概是2倍的关系，那么这个近似的近似误差应该大约就是“-2%”。如下图所示：

上面六个例子基本涵盖“近似误差”估算的要领。此外，“选项差异”的估算也是通过同样的方法进行的，只是在具体操作的时候要注意以下两点：

1.“选项差异”关于“绝对误差”的计算可能较为复杂，一般截取前1-2位计算即可;

2.“选项差异”很容易达到“相对差异”很难达到的10%以上的差异，这时候一般通过计算“绝对误差是真实值的几分之一”或者运用类似的“左移一位十分法”来进行估算。

我们分析某题选项当中两个数值“784.31”、“768.45”之间的相对差异，两个数相差约为“16.00”，将之与“784.31”做对比，通过“左移两位百分法”易知相对差异大约为2%左右。

再分析某题选项当中两个数值“6437.21”、“4829.32”之间的相对差异，两个数相差约为“1600.00”，将之与“6437.21”做对比，前者大概是后者的1/4，得知相对差异大约为25%。

再分析某题选项当中两个数值“3158”、“1871”之间的相对差异，两个数相差约为“1300”，将之左移一位(变成“13000”)与“3158”做对比，大概是后者的4倍左右，得知相对差异大约为4/10，即40%左右。

至此，我们便真正掌握了“近似误差”和“选项差异”的估算，在精度范围允许的前提下，我们便可以自由的进行截位估算了。

六、有向误差分析

前面提到，当“选项差异”为“近似误差”的4-9倍时，对数字的近似有可能会在一定程度上影响到对最后结果的判定，这时候一般有两种办法来应对和修正，这里先介绍第一种办法：有向误差分析。

所谓有向误差分析，指在进行截位估算的时候，通过对过程数字的相对误差来判断最后估算结果相对误差的符号。简单来说，就是判断估算结果是大于真实值还是小于真实值，从而锁定答案的方法。这是一种定性的分析方法，在后面的章节里，还有定量的分析方法。

举例说明：

【例7】5461÷14831=( )。

A. 33%B. 35%C. 37%D. 39%

【答案】C

【解析】5461÷14831≈5400÷15000×100%=36%

观察选项可以发现，与36%最接近的有两个选项，利用前面所提及的方法显然无效，这时可以选用“有向误差分析”来判定。通过简单估算，“选项差异”超过5%(37%与39%之间的相对差异)，将“5461”、“14831”分别近似为“5400”、“15000”的近似误差都在1%左右，可以确定，结果肯定在36%左右，也就是在35%与37%之间进行选择。很明显，近似的过程缩小了分子而扩大了分母，导致估算值36%小于真实值，因此选择C。

【例8】3390.5×36.69%×12.73%=( )。

A. 143B. 158C. 174D. 191

【答案】B

【解析】3390.5×36.69%×12.73%≈3333.333×36%×12.50%=150

“选项差异”在10%左右，“近似误差”在2%以内，所得结果肯定在150附近。由于近似过程中三个因子都被缩小，则近似结果肯定小于真实值，答案就应该比150要大，所以选择B。

七、误差抵消与精度提高

前面提到，两个数相乘(或相除)，这两个数的相对误差之和(或之差)，近似为总体的相对误差(事实上，对于多于两个数的数字的乘除也是近似满足的)。如果在近似的时候，使得乘法中的相对误差保持相反的方向或者除法中的相对误差保持相同的方向，就能有效地抵消误差，从而提高精度。这是应对“选项差异”不足够大时的另外一个有效方法。

来看这两个例子：

【例9】5461÷14831=( )。

A. 33%B. 35%C. 37%D. 39%

【答案】C

【解析】5461÷14831≈5500÷15000×100%=36.7%，选择C。

【注释】截位近似时，被除数提高了1%左右，除数也提高了1%左右，两者相减，误差将大大被削减。

【例10】3390.5×36.69%×12.73%=( )。

A. 143B. 158C. 174D. 191

【答案】B

【解析】3390.5×36.69%×12.73%≈3500×36%×12.50%=157.5，选择B

【注释】截位近似时，第一个因子提高了3%-4%，第二个因子降低了2%以下，第三个因子也降低了2%以下，三者相加，误差将大大被削减。

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