2013国家公务员行测：数学运算之数的分解与拆分

1.分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。

【例1】三个质数的倒数之和为a/231，则a=()

A.68B.83C.95D.131

【解析】将231分解质因数得231=3×7×11，则1/3+1/7+1/11=131/231，故a=131。

【例2】四个连续的自然数的积为3024，它们的和为()

A.26B.52C.30D.28

【解析】分解质因数：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。

【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少?

A499B500C498D501

【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。

注：【】取整数部分。

2.已知某几个数的和，求积的最大值型：

基本原理：a2+b2≧2ab，(a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号)推论：a+b=K(常数)，且a，b都大于0，那么ab≦((a+b)/2)2，当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。

【例1】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为()

A.42B.84C.100D.120

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若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.

【例2】将17拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为()A.256B.486C.556D.376

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将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时，其乘积最大，最大值为×2=486。

3.排列组合型:运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。

【例1】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?()

A.4851B.1000C.256D.10000

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插板法：100可以想象为100个1相加的形式，现在我们要把这100个1分成3份，那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有：C992=99×98/2=4851(种);故选A。

(注：此题没有考虑0已经划入自然数范畴，如果选项中出现把0考虑进去的选项，建议选择考虑0的那个选项。)

【例2】学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法?

A.1152B.384C.28D.12

【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。

1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。

解法二：(用排列组合知识求解)

由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。

具体地：1)当2个3在一起的时候，有8种分配方法(从后面有0个2一直到7个2);2)当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。

解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为(7+1)×(2+1)=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。

【例1】将450分拆成若干连续自然数的和，有多少种分拆办法?

A9B8C7D10

【解析】整数分拆(严格地讲是自然数分拆)形式多样，解法也很多。

下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。那么什么是“中间数”呢?其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。

一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。

例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么?

分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。

例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少?

分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。

二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。

例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种?分别是多少?

分析与解：我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8(2×2×2)个连续自然数的和。分拆为3个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷3=28，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。同理，分拆为7个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷7=12，它们是9、10、11、12、13、14、15。分拆为8(2×2×2)个连续自然数的和：(2×2×3×7)÷8=10.5，它们是7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢?就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇约数恰有三个。于是可以得此结论：若一个整数(0除外)有n个大于1的奇约数，那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。

450=2*3*3*5*5，大于1的奇约数为3，5，9，15，25，45，75，225一共8个，则共有8种拆分方法。 

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