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1、奇偶：采用最多的解不定方程的方法就是奇偶性

不定方程5X+4Y=59，59是一个奇数，4Y一定是个偶数，那么，5X就一定是个奇数，那么X取值只能取奇数，如1、3、5、、、、等等。

例：某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变中公教育版权，那么目前培训中心还剩下学员多少人?

A.36 B.37 C.39 D.41

答案：D。

解析：此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。

设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除特性、奇偶性或质合性来解题。

很明显，6y是偶数、76是偶数，则5x为偶数、x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式得y=11。

现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。

2、尾数：看到一些以0或5结尾的数，想到尾数法

不定方程5X+4Y=59的自然数解。和的个位数是9，说明5X的个位数字一定是5，那么X一定取奇数;4Y的个位数字一定是4，那么Y只能是1、4、6结尾。

例：现有149个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是?

A.5 B.6 C.7 D.8

答案：C。

解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=149，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0,而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7尾，选C。

3、整除：利用不定方程中各数除以同一个除数所得余数的关系来求解

2X+3Y=21的自然数解。我们注意到，21除以3余0，3Y肯定除以3余0，2X=21-3Y，那么2X也应是除以3余0，这样X只能取是3的倍数的数了，如：0、3、6等等。

例：某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

A.1 B.2 C.3 D.4

答案：C。

解析：设买盖饭，水饺和面条的人数分别是x、y和z，则依题意可得15x+7y+9z=60。15x，9z、60都能被3整除，所以7x必能被3整除，x能被3整除，选C。

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