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高三数学说课稿:抛物线

编辑:sx_hez

2013-12-13

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高三数学说课稿:抛物线

一、 内容简析:

1、知识梳理

定义

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

方程

1.y2=2px(p≠0),焦点是F( ,0)

2.x2=2py(p≠0),焦点是F(0, )

性质

以曲线C:y2=2px(p>0)为例

1.范围:x≥0

2.对称性:关于x轴对称

3.顶点:原点O

4.离心率:e=1

5.准线:x=-

6.焦半径P(x,y)∈S,|PF|=x+

2、重点、难点:

本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质。难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用,关键是定义的运用。

建议在教学中注意以下几点:

1)圆锥曲线统一定义:平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹,当01时,表示双曲线;

2)由于抛物线的离心率e=1,所以与椭圆及双曲线相比,它有许多特殊的性质,而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的;

3)抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离, 等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益;

4)求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线标准方程;

5)在解题中,抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系,所以要注意相互转化;

6)在定义中,点F不在直线L上,否则轨迹不是抛物线。

二、 教学目标:

1、掌握抛物线的定义、标准方程和简单几何性质;

2、学会利用定义与简单的几何性质解决与抛物线有关的问题。

3、在教学中渗透辩证、全面看待事物的思想与方法。

三、点击双基

1.(2004年春季北京)在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为

A. B.1 C.2 D.4

答案:C

2.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为

A.(a,0) B.(0,a)

C.(0, ) D.随a符号而定

答案:C

3.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为

A.相交 B.相离

C.相切 D.不确定.

答案:C

4.以椭圆 + =1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则|AB|的值为___________.

答案:

5.(2002年全国)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:

①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径的长为5;⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)

答案:②⑤

四、典型例题:

【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:

(1)过点(-3,2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上.

剖析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论.

解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),

∵过点(-3,2),

∴4=-2p(-3)或9=2p·2.

∴p= 或p= .

∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y,前者的准线方程是x= ,后者的准线方程是y=- .

(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).

当焦点为(4,0)时, =4,

∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;

焦点为(0,-2)时, =2,

∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2.

评述:这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论,先入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去一解.

【例2】如下图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|= ,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

剖析:由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.

解:以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.

设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB为A、B的横坐标,p=|MN|,

所以M(- ,0) 、N( ,0).

由|AM|= ,|AN|=3,得

(xA+ )2+2pxA=17, ①

(xA- )2+2pxA=9. ②

①②联立解得xA= ,代入①式,并由p>0,

解得

p=4, p=2,

xA=1 xA=2.

因为△AMN为锐角三角形,所以 >xA.

所以

故舍去

P=2, P=4,

xA=2. xA=1.

由点B在曲线段C上,得xB=|BN|- =4.

综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).

评述:本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.

【例3】 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

剖析:证直线AC经过原点O,即证O、A、C三点共线,为此只需证kOC=kOA.本题也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.

证法一:设AB:x=my+ ,代入y2=2px,得y2-2pmy-P2=0.

由韦达定理,得yAyB=-p2,

即yB=- .

∵BC∥x轴,且C在准线x=- 上,

∴C(- ,yB).

则kOC= = = =kOA.

故直线AC经过原点O.

证法二:如下图,记准线l与x轴的交点为E,过A作AD⊥l,垂足为D.

则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N,则 = = , = .

∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,

∴|EN|= = =|NF|,

即N是EF的中点.从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O.

评述:本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中,关键是得到yA·yB=-p2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识,这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.

五、闯关训练

一)、夯实基础

1.(2003年高考·新课程)设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0, ],则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.[0, ] B.[0, ]

C.[0,| |] D.[0,| |]

.答案:B

2.(2004年全国Ⅰ,8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

A.[- , ] B.[-2,2]

C.[-1,1] D.[-4,4]

答案:C

3.(2003年春季上海)直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是___________.

答案:(3,2)

4.在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,该点的坐标是____________.

答案:( ,1).

5.下图所示的直角坐标系中,一运动物体经过点A(0,9),其轨迹方程是y=ax2+c(a<0),D=(6,7)为x轴上的给定区间.

(1)为使物体落在D内,求a的取值范围;

(2)若物体运动时又经过点P(2,8.1),问它能否落在D内?并说明理由.

答案:运动物体能落在D内.

6.正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线y2=x上,求正方形的面积.

答案:50

二)、培养能力

7.给定抛物线y2=2x,设A(a,0),a>0,P是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求d的最小值.

答案dmin= .

8.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1,求∠A1FB1.

解:由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°-(∠AFA1+∠BFB1)

=180°- (180°-∠A1AF)- (180°-∠B1BF)

= (∠A1AF+∠B1BF)=90°.

三)、实际应用

某大桥在职涨水时有最大跨度的中央桥孔的上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部分中央船体高5米,宽16米,且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物,但每装150吨货物,船体吃水线就要上升0。04米,若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

四)、探究创新

9.(2003年春季北京)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程;

(2)设过点P,且斜率为- 的直线与曲线M相交于A、B两点.

①问△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由.

②当△ABC为钝角三角形时,求这时点C的纵坐标的取值范围.

解:(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x,如下图.

(2)①由题意得,直线AB的方程为

y=- (x-1).

消去y,得3x2-10x+3=0.

y=- (x-1),

y2=4x,

解得A( , ),B(3,-2 ),

若△ABC能为正三角形,

设C(-1,y),则|AC|=|AB|=|BC|,

( +1)2+( -y)2=(3- )2+(2 + )2, ①

(3+1)2+(2 +y)2=(3- )2+(2 + )2. ②

解得y=- .

但y=- 不符合(1),所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.

②设C(-1,y)使△ABC成钝角三角形,由

得y=2 ,

y=- (x-1),

x=-1,

即当点C的坐标为(-1,2 )时,A、B、C三点共线,故y≠2 .

又|AC|2=(-1- )2+(y- )2= - +y2,|BC|2=(3+1)2+(y+2 )2=28+4 y+y2,|AB|2=( )2= .

当|BC|2>|AC|2+|AB|2,

即28+4 y+y2> - y+y2+ ,

即y> 时,∠CAB为钝角.

当|AC|2>|BC|2+|AB|2,

即 - y+y2>28+4 y+y2+ ,

即y<- 时,∠CBA为钝角.

又|AB|2>|AC|2+|BC|2,即

> - +y2+28+4 y+y2,即

y2+ y+ <0,(y+ )2<0.

该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角.

因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是

y<- 或y> (y≠2 ).

六、思悟小结

本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点:

1.求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法.

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算.

3.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质.

拓展题例

【例题】 (2003年北京东城区模拟题)已知抛物线C1:y2=4ax(a>0),椭圆C以原点为中心,以抛物线C1的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为 ,过抛物线C1的焦点F作倾斜角为 的直线l,交椭圆C于一点P(点P在x轴上方),交抛物线C1于一点Q(点Q在x轴下方).

(1)求点P和Q的坐标;

(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′,使|QQ′|=4a,求过P和Q′且中心在原点,对称轴是坐标轴的双曲线的方程.

七、板书设计(略)

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