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高三数学说课稿：直线与圆锥曲线

目的要求

1、能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系。

2、弦长公式的理解与灵活运用。

3、通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，能运用圆锥曲线的第二定义以求简化运算，使解题过程得到优化。

本节重点：1、直线与曲线的位置关系;

2、数形结合思想的渗透。

本节难点：1、非封闭曲线，尤其是双曲线与直线位置关系的讨论;

2、充分运用新旧知识的迁移，从数与形两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系;

3、在掌握共性的(方程法)基础上，注意个性(距离法)，防止负迁移，做到特殊问题能特殊处理。

教学过程

一、要点归纳：

如何解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，方程法是通用的方法，

相应方程组的解的个数就是二者交点的个数，若有两个交点，则交点连线的长度就是相应的弦长。基本内容包括：

(一)、位置关系的分类讨论：

1、直线与封闭曲线(圆与椭圆)：

以直线与椭圆为例：

因为 ，所以可以直接讨论判别式：

直线与曲线相离(0个交点);

直线与曲线相切(1个交点);

直线与曲线相交(2个交点)。

注意：对于直线与圆的位置关系的讨论，除此之外，我们常

通过圆心和直线的距离 与半径 的大小关系来判定。

2、直线与非封闭曲线(双曲线与抛物线)：

以直线与双曲线为例：

(1)、 即 时，方程有唯一解，直线与渐近线平行，位置关系是相交，且只有一个交点。

(2)、 时，讨论判别式：

直线与曲线相离(0个交点);

直线与曲线相切(1个交点);

直线与曲线相交(2个交点)。

归纳指出：对于非封闭曲线，直线与其仅有一个交点，只是二者相切的一个必要条件，而非充分条件!

(二)、直线与曲线相交——弦长问题：

设直线与曲线相交于 ，两交点坐标的唯一来源

是方程组，下面的弦长公式很显然：

(消元后是关于x的方程)

或 (消元后是关于y的方程)

结合图象，弄清楚公式的导出方法，是为至要!

特别指出：抛物线的焦点弦性质丰富多彩，以 为例，若直线过焦点 ，关键是注意两点：

(1)、巧设直线方程：

(2)、根据定义求弦长：

同时指出：对于圆的弦长，用直角三角形求解更为简便。

二、解题研究：

a) 直线的斜率 ，过抛物线 焦点F，与抛物线交于A、

B两点，则弦长 。(20)

2、直线： 与椭圆 交于A、B两点，

则弦长 。

3、直线 ，双曲线 ，求K的取值范围，使双曲线与直线： (1)、没有交点;

(2)、有一个交点;

(3)、有两个交点。

[析解]：

1)、 ，即 时，有唯一交点;

2)、 ，即 时， ：

，即 或 时，无交点;

，即 时，有唯一交点，相切;

，即 ，且 时，有两个交点。

综上： 或 时，没有交点;

或 时，有一个交点;

，且 时，有两个交点;

[讨论]： 1)、画出图象表示上述关系;

2)、何时交于左支、右支左右各一支;

3)、归纳得出结论：

或 时，直线与双曲线相离;

时，直线与双曲线交于右支两点;

时，直线与渐近线平行，交于左支一点;

时，直线与双曲线交于左、右支各一点;

时，直线与渐近线平行，交于右支一点;

时，直线与双曲线交于左支两点;

三、信息反馈：留下几分钟，让学生提问并整理思路。简而言之就一句话：先看方程，再看判别式，一切顺其自然!同时指出：方程法作为一种最基本的方法，亦可以讨论直线与直线、曲线与曲线之间的位置关系，只是前者较简，后者较繁而已，原理不变!

课后回顾：

1、直线与曲线的位置关系的讨论，不管高考当中以何种方式出题，哪怕是不直接考查，都是学生所必须掌握的基础知识，也不管题目的难易，其基本原理与解题思路是不会改变的;

2、师者，传道、授业、解惑也，如何解数学之惑?在下以为：关键在于把最基本的原理告诉学生。象本节课，为什么直线与双曲线、抛物线的位置关系变得复杂，从形上看是因为曲线不封闭(封闭这一名词高中教材中没有出现，但因为其直观性，学生并不难理解)，从数上看是因为消元后方程的形式不确定;

3、本节课内容较多，也是解析几何当中的一个难点，我之所以将每一步都深深地植根于韦达定理、求根公式、勾股定理、三角函数、两点之间的距离等学生所应该熟悉的基楚知识之上，其目的：一是化难为易，二是构建最完整的知识体系，让学生了解知识的形成过程，最终形成能力，驰骋考场而游刃有余!

当否，请指正!

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