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练习题

一、选择题

1.如图3-1-3所示的三角形数阵是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数的构成规律，a所表示的数是(　　)

图3-1-3

A.2　　　　　　　　 B.4

C.6 D.8

【解析】　a=3+3=6.

【答案】　C

2.已知数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…，则数列的第k项为(　　)

A.ak+ak+1+…+a2k B.ak-1+ak+…+a2k-1

C.ak-1+ak+…+a2k D.ak-1+ak+…+a2k-2

【解析】　由前n项可知，第k项中第一个数为ak-1，且共有k项，次数连续，故第k项和为ak-1+ak+…+a2k-2.

【答案】　D

3.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第100项是(　　)

A.10 B.13

C.14 D.100

【解析】　由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n，由nn+12≤100，n∈N*，得n的最大值为14.

【答案】　C

4.观察下列各式：72=49,73=343,74=2 401，…，则72 011的末两位数字为

(　　)

A.01 B.43

C.07 D.49

【解析】　72=49,73=343,74=2 401,75=16 507,76=117 649，…由此看出末两位数字具有周期性，且周期为4，又2 011=4×502+3，故72 011的末两位数字应为43.

【答案】　B

5.观察(x2)′=2x，(x4)=4x3，(cos x)=-sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=(　　)

A.f(x) B.-f(x)

C.g(x) D.-g(x)

【解析】　由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(-x)=-g(x)，故选D.

【答案】　D

二、填空题

6.观察下列等式，可以归纳出的结论是________.

13=12，

13+23=32，

13+23+33=62，

13+23+33+43=102，

……

图3-1-4

【解析】　由1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10，可归纳出13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.

【答案】　13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2

7.数列2,5,11,20，x,47，…中的x=________.

【解析】　5-2=3=1×3,11-5=6=2×3,20-11=9=3×3，x-20=4×3,47-x=5×3，∴x=32.

【答案】　32

8.观察下列等式：

①cos 2α=2cos2α-1;

②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1;

③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;

⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6+ncos4α+pcos2α-1.

可以推测，m-n+p=________.

【解析】　观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m=128×4=512;取α=0，则cos α=1，cos 10α=1，代入等式⑤，得

1=m-1 280+1 120+n+p-1，即n+p=-350;(1)

取α=π3，则cos α=12，cos 10α=-12，代入等式⑤，得-12=m(12)10-1 280×(12)8+1120×(12)6+n×(12)4+p×(12)2-1，即n+4p=-200，(2)

联立(1)(2)，得n=-400，p=50.

∴m-n+p=512-(-400)+50=962.

【答案】　962

三、解答题

9.猜想不等式1+12+13+…+1n>n+1满足什么条件时成立?

【解】　当n=1时，左边=1，右边=1+1=2，不等式不成立.

当n=2时，左边=1+12=2+22，

右边=1+2=3=122.

∵2+2<12，∴左边<右边，不等式不成立.

当n=3时，左边=1+12+13=6+32+236，右边=3+1=2，左边>6+3×1.4+2×1.76=6.83>2=右

边.∴不等式成立.

猜想：当n∈N+且n≥3时不等式成立.

10.观察下表，填表后再解答问题：

(1)完成下列表格：

序号 1 2 3 …

图形

…

◎的个数 8 24 …

的个数

1 4 …

(2)试求第几个图形中“◎”的个数和“ ”的个数相等?

【解】　(1)16　9

(2)设第n个图形中“◎”的个数和“ ”的个数相等.观察图形可知8n=n2，

解得n=8或n=0(舍去).

所以第8个图形中“◎”的个数和“ ”的个数相等.

11.设函数f(x)=xx+2(x>0)，f1(x)=f(x)，且当n≥2时，fn(x)=f(fn-1(x))，试求f2(x)，f3(x)，并归纳出fn(x)(n∈N*).

【解】　f2(x)=f(f1(x))=f1xf1x+2=xx+2xx+2+2=xx+2x+2=x3x+4，

f3(x)=f(f2(x))=f2xf2x+2=x3x+4x3x+4+2=xx+23x+4=x7x+8，

猜想：fn(x)=x2n-1x+2n(n∈N*).

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