竖直平面内的圆周运动要注意最高点和最低点的受力。威廉希尔app 高中频道整理了高三物理教案：竖直平面内的圆周运动，希望能帮助教师授课!

【考点透析】

一、 本专题考点：圆周运动及牛顿第二定律的应用。

二、 理解和掌握的内容

1.竖直面内的匀速率圆周运动:物体所受合外力大小恒定,方向总指向圆心,充当其做圆周运动的向心力;满足匀速圆周运动的基本规律.

2.竖直面内的变速率圆周运动:具有周期性，速率、角速度、向心加速度及向心力随时间变化。要会根据牛顿第二定律列最高点及最低点的动力学方程,会根据能量的观点确定质点的不同位置的状态关系.

3.难点释疑：竖直面内的圆周运动中物体的临界状态分析：

(1)细线模型：如图4-36(甲)，在长为L的轻线下挂一质量为m的小球，绕定点O在竖直平面内转动，通过最高点时，其速度 至少多大?

设小球在最高点的速度为 ,受到细线对它的竖直向下的拉力T，受到向下的重力mg，由牛顿第二定律可得： mg=m -mg 0 即

小球在圆轨道最高点的速度至少应为

与此相类似的情况还有小球沿竖直平面内的光滑圆轨道的内缘运动，飞行员在竖直平面内作圆运动的物技表演，杂技“水流星”。

(2)细杆模型：如图4-37(甲)在一长为L的细杆的一端拴一质量为m的小球，绕杆的另一端在竖直平面内作圆周运动。小球能到达轨道最高点的最小速度为多大?

细线对小球只能有拉力作用，而细杆对小球不但可以有拉力作用，还可以有支持力作用，在圆轨道的最高点，当细杆对小球竖直方向的支持力大小等于小球重力的大小时，小球受到的合力为零，则小球的线速度为零，即小球在圆轨道最高点的最小值为零。

汽车过凸形桥、小球在竖直平面内的光滑圆管内运动等都属于这种情况。

【例题精析】

例1 如图4-38所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块。电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为

解析：设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别为T1、T2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：

在最高点：mg+T1=mω2r ①

在最低点：T2-mg= mω2r ②

电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：

ΔN=T2+T1

由①②③式可解得：ΔN=2mω2r

思考拓宽：在(1)若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?

(2)当角速度ω为何值时铁块在最高点与电机恰好无作用力?

(3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来?此情总下，对地面的最大压力是多少?

例2.如图4-39所示，一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)。在圆管中有两个直径与细管内相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m1，B球的质量显m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 .设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与 应满足的关系式是

解析：A球在最低及B球在最高点的受力如图4—46所示，设管对A、B两球的作用力为NA、NB(设向下为正)则有：

对A：NA-m1g=m1 ①

且NA的方向必向上，由牛顿第三定律A球对管的压力向下，为使A、B两球对管的压力的合力为零，所以B对管的压力方向必向上，管对B球的压力必向下。

对B：NB+m2g=m2 ②

其中 为B球在最高点的速度，由机械能守恒定律： m2 = m2 +2m2gR ③

依题意：NA=NB，则有A、B对圆管的合力为0，整理得，m1、m2,R及 应满足关系式：(m1-m2) +(m1+5m2)g=0

这是一道圆周运动与机械能守恒定律的综合题目，也是一道情景新颖的讨论题，要求能 正确地对A、B进行受力分析，判断出A、B受到圆管对它的作用力的方向，列出正确的方程式，问题便会迎刃而解。

思考拓宽：讨论(1)在满足题意的前提下， 须满足的条件是

讨论(2)如果在B球运动到最高点时，B刚好与管无相互作用，其它条件不变，设管的质量为M，则此时圆管对地面的压力为

提示：(1)由题中分析解方程②③得

NB=m2( -5g)，NB方向向下，NB>0。可解得 >

(2)如B在最高点对管无作用力，即NB=0，则可解得 0= 。此时A在最低点对管的压力大小等于NA=m1g.由平衡条件及牛顿第三定律可得，管对地面的压力N=Mg+6m1g

【能力提升】

Ⅰ 知识与技能

1.如图4-40所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是

A.a处为拉力，b处为拉力

B.a处为拉力，b处为推力

C.a处为推力，b处为拉力

D.a处为推力，b处为推力

2.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力做的功为

A. mgR B. mgR C. mgR D.mgR

3.一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如4-41所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段就是

A.a处 B.b处 C.c处 D.d处

4.轻杆一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球，如图4-42所示，给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P，下列说法正确的是

A.小球在最高点对杆的力为零

B.小球在最高点对杆的作用力大小为mg

C.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大

D.若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大

5.如图4-43所示，质量为m的小球，用长为 的线悬挂在O点，在O点正下方 /2处有一光滑的钉子Oˊ，把小球拉到与Oˊ在同一水平线的位置，摆线被钉子拦住，将小球从静止释放，当第一次通过最低点P时

A.小球速率突然减小

B.小球角速度突然减小

C.小球的向心加速度突然减小

D.摆线上的张力突然减小

Ⅱ 能力与素质

6.如图4-44所示，质量为m的小球在竖直两面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨

道的临界速度值是 ，当小球以2 的速度经过最高点时，对轨道的压力值是

A.0 B.mg C.3mg D.5mg

7.如图4-45所示，一长为2L的轻杆，两端各固定一小球，A球质量为M，B球质量为m，且M> m，过杆的中点有水平光滑固定轴，杆可绕轴在竖直面内转动，当杆转动到竖直位置时，角速度为 ，A正好位于上端，B正好位于下端，则沿竖直方向，杆作用于固定轴的力的方向一定向上的条件是

8.质量为m，电量为+q的小球用一绝缘细线悬于O点，开始时它在A、B之间来回摆动，OA、OB与竖直方向的夹角均为，如图4-46所示，(1)如果当它摆动到B点时突然施加一竖直向上的、大小为E=mg/q的匀强电场，则此时线的拉力 ,(2)如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B点时线的拉力

9.飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑视，第，一次是因为血压降低，导致视网膜缺血，问(1)血压为什么会降低?(2)血压在人体循环中所起的作用是什么?(3)为了使飞行员适应这种情况，要在如图4-47的仪器中对飞行员进行训练，飞行员坐在一个垂直平面做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员受到的加速度a=6g，则转速需为多少?

10.如图4-48所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子，OB=y。初始时，小球A与O同水平面无初速释放，绳长为 ，为使球能绕B点做圆周运动，求y的取值范围。

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