1什么是一元二次不等式?2回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系?3类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法?

活动：为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系.这样做不仅仅是为探 究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握.

一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集.函数图象与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在x轴上方(下方)部分对应的横坐标.

类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数y=x2-5x，当x为何值时，y=0?当x为何值时，y<0?当x为何值时，y>0?因此二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间有着非常密切的联系.

教师利用多媒体让学生探究一元二次不等式x2-5x>0和x2-5x<0的解法.

先考察二次函数y=x2-5x=(x-52)2-254的图象和性质，如下图.

当x=0或x=5时，y=0，即x2-5x=0;

当0

当x<0或x>5时，y>0，即x2-5x>0.

这就是说，若抛物线y=x2-5x与x轴的交点是(0,0)与(5,0)，

则一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.

一元二次不等式x2-5x<0的解集是{x|00的解集是{x|x<0或x>5}.

这样，我们通过对函数式配方、画图就能解出一元二次不等式的解集.

另一种方法，教师可引导学生对函数式进行分解，即x2-5x=x(x-5).因此解不等式x2-5x>0，等价于解不等式组x>0，x-5>0或x<0，x-5<0.

解这两个不等式组，得x>5或x<0.

这种化高次为低次的研究方法，也是我们研究问题的重要方法.但把这两种方法进行比较，可以明显地体会到，作出相应的二次函数的图象，并由图象直接写出解集的方法更简便一些.今后我们解一元二次不等式时就可用第一种方法来解.

由一元二次不等式的一般形式，知任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的 图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.

由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ=b2-4ac上分别为Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况.相应地，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置也分为三种情况(如下图).因此，对相应的一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集我们也分这三种情况进行讨论.

(1)若Δ>0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个交点〔图(1)〕，即方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根x1，x2(x10(a>0)的解集是{x|xx2};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是{x|x1

(2)若Δ=0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实根x1=x2=-b2a，则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是{x|x≠-b2a};不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是?.

(3)若Δ<0，此时抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2+bx+c=0(a>0)无实根，则不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集是R;不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集是?.

Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数

y=ax2+bx+c(a>0)

的图象

ax2+bx+c=0的根 x1,2=-b±Δ2a

x1=x2=-b2a

?Ø

ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} {x|x≠-b2a}

R

ax2+bx+c<0的解集 {x|x1

这样根据二次函数图象及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，但教师需点拨学生注意：一是不要死记上表中的一元二次不等式的解集，对具体的一元二次不等式，首先想到的是二次函数图象，想到的是判别式Δ的情况;二是不等式的解集一定要书写规范，只能用集合或区间表示，避免出现似是而非的错误.对于ax2+bx+c>0(a<0)的情况，只需将二次项系数化为正值再求解即可.

讨论结果：

(1)含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.

(2)略.

(3)两条途径探究一元二次不等式的解法：一条是对函数式配方、画图解决;另一条是对函数式进行因式分解解决.

应用示例

例1(教材本节例1)

活动：本例的目的是让学生熟悉怎样结合二次函数 、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集.本例可让学生自己解决，待充 分暴露问题后，教师进行一一点拨纠正.

点评：解完此例后，教师可结合多媒体回顾前面探究的一般一元二次不等式的解集，进一步加深学生对一元二次不等式解法的理解.

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