立体几何历年来都是必考的考点，相当的重要。威廉希尔app 高中频道整理了高考数学一轮复习教案：立体几何，希望能帮助教师授课!

一、填空题

1.以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数是________.

解析　命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰.命题③对.命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行.

答案　1

2.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号).

①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析　①显然可能;②不可能;③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体;④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体;⑤正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1-DBC满足条件.

答案　①③④⑤

3.在三棱锥S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥S-ABC的表面积是________.

解析　设侧棱长为a，则2a=2，a=2，侧面积为3×12×a2=3，底面积为34×22=3，表面积为3+3.

答案　3+3

4.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________.

解析　设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则πrl=2π，πr2=π，∴r=1，l=2.

∴h=l2-r2=22-12=3.

∴圆锥的体积V=13π•12•3=33π.

答案　33π

5.(2012•新课标全国卷改编)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为________.

解析　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′=2，O′M=1，∴OM=22+1=3，即球的半径为3，∴V=43π(3)3=43π.

答案　43π

6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________.

解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V=13×1×1×22=26.

答案　26

7.(2013•天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________.

解析　设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知43πR3=9π2，∴R3=278，而R=32.

由于3a2=4R2，∴a2=43R2=43×322=3，∴a=3.

答案　3

8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为________.

解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG=HF=12，AG=GD=BH=HC=32，∴S△AGD=S△BHC=12×22×1=24，∴V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×12×2+24×1=23.

答案　23

二、解答题

9.如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

(1)求证：PC⊥AB;

(2)求点C到平面APB的距离.

(1)证明　取AB中点D，连接PD，CD.

因为AP=BP，所以PD⊥AB，

因为AC=BC，所以CD⊥AB.

因为PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.

(2)解　设C到平面APB的距离为h，

则由题意，得AP=PB=AB=AC2+BC2=22，

所以PC=AP2-AC2=2.

因为CD=12AB=2，PD=32PB=6，

所以PC2+CD2=PD2，所以PC⊥CD.

由(1)得AB⊥平面PCD，于是由VCAPB=VAPDC+VBPDC，

得13•h•S△APB=13AB•S△PDC，

所以h=AB•S△PDCS△APB=22×12×2×234×222=233.

故点C到平面APB的距离为233.

10.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.

解　如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为

V=V圆锥-V球=13π(3r)2•3r-

43πr3=53πr3，

将球取出后，设容器中水的深度为h，

则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积为

V′=13π33h2h=19πh3，由V=V′，得h=315r.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、填空题

1.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为________.

解析　由题意知，如图所示，在棱锥S-ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB=3，SC=4，所以SA=SB=23，AC=BC=2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此VS-ABC=13×34×(3)2×4=3.

答案　3

2.(2014•南京模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=5，AA1=3，M为线段B1B上的一动点，则当AM+MC1最小时，△AMC1的面积为________.

解析　如图，当AM+MC1最小时，BM=1，所以AM2=2，C1M2=8，AC21=14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1=AM2+MC21-AC212AM•MC1=-12，所以sin∠AMC1=32，S△AMC1=12×2×22×32=3.

答案　3

3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52+122=13 cm.

答案　13

二、解答题

4.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示.

(1)求证：BC⊥平面ACD;

(2)求几何体D-ABC的体积.

(1)证明　在图中，可得AC=BC=22，

从而AC2+BC2=AB2，

故AC⊥BC，

又平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC=AC，

BC⊂平面ABC，

∴BC⊥平面ACD.

(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC=22，S△ACD=2，∴VB-ACD=13S△ACD•BC=13×2×22=423，由等体积性可知，几何体D-ABC的体积为423.

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