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2016-09-12
四、数学运用
1.例题:
例1.在空间直角坐标系中,作出点P(5,4,6).
分析:可按下列步骤作出点P:
??P O?????1
解:所作图如下图所示.
从原点出发沿x轴正方向移动5个单位???????P2???????P 沿与y轴平行的方向向右移动4个单位沿与z轴平行的方向向上移动6个单位
例2. 如上右图,已知长方体ABCD?A?B?C?D?的边长为AB?12,AD?8,AA??5.以这个长方体的顶点A为坐标原点,射线AB,AD,AA?分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.
解 因为AB?12,AD?8,AA??5,点A在坐标原点,即A(0,0,0),且B,D,A?分别在x轴、y轴、z轴上,所以它们的坐标分别为B(12,0,0),D(0,8,0),A?(0,0,5).
点C,B?,D?分别在xOy平面、zOx平面和yOz平面内,坐标分别为C(12,8,0),B?(12,0,5),D?(0,8,5).
点C?在三条坐标轴上的射影分别是点B,D,A?,故点C?的坐标为(12,8,5).
思考:在空间直角坐标系中,x轴上的点、xOy坐标平面内的点的坐标各具有什么特点?
[答案]落在x轴上的点的坐标(x,y,z)满足:y?z?0.
落在xOy坐标平面内的点(x,y,z)的坐标满足:z?0.
例3. (1)在空间直角坐标系O?xyz中,画出不
共线的3个点P,Q,R,使得这3个点的坐标都满足z?3,
并画出图形;
(2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐
标应满足的条件.
解(1)取三个点P(0,0,3),Q(4,0,3),R(0,4,3).
(2)P,Q,R三点不共线,可以确定一个平面,又
因为这三点在xOy平面的同侧,且到xOy平面的距离相
的距离都等于3,即该平面上的点的坐标都满足z?3.
等,所以平面PQR平行于xOy平面,而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点
例4.求点A(2,?3,?1)关于xOy平面,zOx平面及原点O的对称点.
答案:A?(2,?3,1),A??(2,3,?1)和A???(?2,3,?1).
说明:一般地,点(x,y,z)关于xOy平面的对称点为(x,y,?z),关于yOz平面的对称点为(?x,y,z),关于zOx平面的对称点为(x,?y,z),关于原点对称点为(?x,?y,?z).
2.练习:
(1)课本第111页练习1,2,3题 ;
(2) 分别写出在坐标轴、坐标平面上的点A(x,y,z)的坐标所满足的条件.
五、回顾小结:
1.空间右手直角坐标系.
2.空间右手直角坐标系的画法.
六、课外作业:
课本第113页第1、2、3、6题.
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