(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

2."投影"的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量;

当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为0;

当? = 0?时投影为 |b|; 当? = 180?时投影为 ?|b|.

3.向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，

1、a?b ? a?b = 0

2、当a与b同向时，a?b = |a||b|; 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|.

特别的a?a = |a|2或 |a?b| ≤ |a||b| cos? =

探究：平面向量数量积的运算律

1.交换律：a ? b = b ? a

证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2.数乘结合律：(a)?b =(a?b) = a?(b)

证：若> 0，(a)?b =|a||b|cos?， (a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos?，

若< 0，(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?，(a?b) =|a||b|cos?，

a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?.

3.分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c

说明：(1)一般地，(a·b)с≠a(b·с)

(2)a·с=b·с，с≠0a=b

(3)有如下常用性质：a2=|a|2，

(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d

三、讲解范例：

例1.证明：(a+b)2=a2+2a·b+b2

例2.已知|a|=12， |b|=9，，求与的夹角。

例3.已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求：(1)(a+2b)·(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|.

( 利用 )

例4.已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

四、课堂练习：

1.P106面1、2、3题。

2.下列叙述不正确的是( )

A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律

C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数

3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为( )

A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直

4.已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.

五、小结：

1.平面向量的数量积及其几何意义;

2.平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.向量垂直的条件.

六、作业：《习案》作业二十三

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