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2016高二数学平面向量的实际背景及基本概念教案

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2016-03-09

(5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c)

显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.

2."投影"的概念:作图

定义:|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量,不是向量;

当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为0;

当? = 0?时投影为 |b|; 当? = 180?时投影为 ?|b|.

3.向量的数量积的几何意义:

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

探究:两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,

1、a?b ? a?b = 0

2、当a与b同向时,a?b = |a||b|; 当a与b反向时,a?b = ?|a||b|.

特别的a?a = |a|2或 |a?b| ≤ |a||b| cos? =

探究:平面向量数量积的运算律

1.交换律:a ? b = b ? a

证:设a,b夹角为?,则a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a

2.数乘结合律:(a)?b =(a?b) = a?(b)

证:若> 0,(a)?b =|a||b|cos?, (a?b) =|a||b|cos?,a?(b) =|a||b|cos?,

若< 0,(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?,(a?b) =|a||b|cos?,

a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?.

3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c

说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)

(2)a·с=b·с,с≠0a=b

(3)有如下常用性质:a2=|a|2,

(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d

三、讲解范例:

例1.证明:(a+b)2=a2+2a·b+b2

例2.已知|a|=12, |b|=9,,求与的夹角。

例3.已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o求:(1)(a+2b)·(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|.

( 利用 )

例4.已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直.

四、课堂练习:

1.P106面1、2、3题。

2.下列叙述不正确的是( )

A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律

C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数

3.|a|=3,|b|=4,向量a+b与a-b的位置关系为( )

A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直

4.已知|a|=8, |b|=10, |a+b|=16,求a与b的夹角.

五、小结:

1.平面向量的数量积及其几何意义;

2.平面向量数量积的重要性质及运算律;

3.向量垂直的条件.

六、作业:《习案》作业二十三

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