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高二数学教案:平面的基本性质

编辑:

2015-05-20

三、数学运用

基础训练:(1)已知: ;求证:直线AD、BD、CD共面.

证明:

——公理3推论1

——公理1

同理可证, ,

直线AD、BD、CD共面

【解题反思1】1。逻辑要严谨

2.书写要规范

3.证明共面的步骤:

(1)确定平面——公理3及其3个推论

(2)证线“归” 面(线在面内如: )——公理1

(3)作出结论。

变式1、如果直线两两相交,那么这三条直线是否共面?(口答)

变式2、已知空间不共面的四点,过其中任意三点可以确定一个平面,由这四个点能确定几个平面?

变式3、四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形吗?(口答)

(2)已知直线 满足: ;求证:直线

证明:

——公理3推论3

——公理1

直线 共面

提高训练:已知 ,求证: 四条直线在同一平面内.

思路分析:考虑由直线a,b确定一个平面,再证明直线c,l在此平面上,但十分困难。因而可以开放思路,考虑确定两个平面,再证明两个平面重合,问题迎刃而解。

证明:

——公理3推论3

——公理3推论3

——公理1

因此,平面 同时经过两条相交直线

所以平面 重合。——公理3推论2

直线 共面

上面方法称为同一法

拓展训练:如图,三棱锥A-BCD中,E、G分别是BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF:FC=DH:HA=2:3;求证:EF、GH、BD交于一点.[渗透空间问题平面化思想]

思路分析:思路1:开放思路,考虑三个平面,首先证明两条直线在一个面内,并且相交,然后证明交点在两个平面上,据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上,因此证得三线共点。

证法1:连接 ,

因 E、G分别是BC、AB的中点,故

因DF:FC=DH:HA=2:3,故

——公理4

共面,由上知, 相交,设交点为O,则 平面 , 平面 ,

所以 直线

所以EF、GH、BD交于一点。

思路2:首先证明直线 GH、BD交于一点P,直线EF 、BD交于一点Q,然后证明两点P、Q重合,进而得出EF、GH、BD交于一点。

证法法2:提示:过点H作HO,使得 ,交点为O,连接OF,证明 ,

延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q,由三角形相似可以得出OP=OQ.所以点P、Q重合。

链接生活:在正方体木头中,试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状.

【解题反思2】1。逻辑要严谨

2.书写要规范

3.方法要掌握

(1)证明共面的步骤:

1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2)证线“归” 面(线在面内如: )——公理1

3)作出结论。

(2)证明共线的步骤:

①证所有点在第一个面内(如平面 )——公理1

②证所有点在第二个面内(如平面 ) ——公理1

③结论1:所有点在两个平面的交线上

④结论2:所有点共线——公理2

(3)证明共点的步骤:

1)证交于一个点——公理3及3个推论

2)证此点在二个面内(如平面 ) ——公理1

3)结论1:此点在两个平面的交线上——————公理2

4)结论2:三条线共点

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论,学会了如何使用公理及其推论解题.

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