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函数单调性

课题：§1.3.1函数的单调性

教学目的：(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义;

(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;

(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.

教学重点：函数的单调性及其几何意义.

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.

教学过程：

一、引入课题

1.  观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

3.f(x) = x2

1在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ .

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

着x的增大而 ________ .

二、新课教学

(一)函数单调性定义

1.增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1

2.函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3.判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1

2 作差f(x1)-f(x2);

3 变形(通常是因式分解和配方);

4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(二)典型例题

例1.(教材P34例1)根据函数图象说明函数的单调性.

解：(略)

巩固练习：课本P38练习第1、2题

例2.(教材P34例2)根据函数单调性定义证明函数的单调性.

解：(略)

巩固练习：

1 课本P38练习第3题;

2 证明函数 在(1，+∞)上为增函数.

例3.借助计算机作出函数y =-x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间.

解：(略)

思考：画出反比例函数 的图象.

1 这个函数的定义域是什么?

2 它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象.

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

四、作业布置

1.  书面作业：课本P45 习题1.3(A组) 第1- 5题.

2.  提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，

1 求f(0)、f(1)的值;

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集.

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