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圆的一般方程教案

教学目标

(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.

(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程.

(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题.

教学重点和难点

重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.

难点：圆系的理解和应用.

教学过程设计

(一)教师讲授：

请同学们看出圆的标准方程：

(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.

把圆的标准方程展开，并整理：

x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

我们把它看成下面的形式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①

这个方程是圆的方程.

反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线是圆.

②

(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?

(1)当D2+E2-4F>0时，方程②表示

(2)当D2+E2-4F=0时，方程②表示

(3)当D2+E2-4F<0时，方程②不表示任何图形

∴当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.

做圆的一般方程.

现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

(1)①x2和y2的系数相同，不等于0.

②没有xy这样的二次项.

同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0.且没有xy这样的二次项，是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件.但不是充分条件.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.

(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.

[解法一]设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.

把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组

∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.

[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：

y-1=(-2)(x-2) 2x+y=5

∴所求圆的方程为，(x-4)2+(y+3)2=25.

[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出.

解 设曲线上的动点为M(x，y).

化简得 x2+y2+2x-3=0

配方 (x+1)2+y2=4.

∴所求的轨迹是以C(-1，0)为圆心，2为半径的圆.

研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2+y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x+y0y=r2.

[分析]自P0(x0，y0)作图x2+y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的.为此我们要研究较简单的办法.

P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手.

即 x2+y2-x0x-y0y=0.

把(2)代入(1)：x0x+y0y=r2.

∴P1P2所在直线的方程为x0x+y0y=r2.

这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x+y0y=r2就是过两圆交点的直线.

请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理.(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0).求证：方程f1(x，y)+λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”.

根据这一定理，(x2+y2-x0x-y0y)+λ(x2+y2-r2)=0.表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=-1，得曲线方程，x0x+y0y=r2，实际上是直线x0x+y0y=r2.就是说，直线x0x+y0y=r2过两圆的交点.

通过这个题，我们有下面一般的结论：

如果圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交.

(1)当λ≠-1时，方程(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆.

(2)当λ=-1时，方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线.

这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用.应当注意的是：

方程(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系.这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合.

(三)学生课堂练习

(四)作业

最后，希望精品小编整理的高一数学圆的方程教案设计对您有所帮助，祝同学们学习进步。

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