师：讲授二分法的定义.

生：总结应用二分法的步骤.

学生交流总结，学生代表口述步骤，老师完善并板书. 由特殊到一般形成概念，归纳总结应用二分法的步骤.

应用举例

例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x + 3x = 7的近似解(精确度0.1). 师生合作应用二分法，遵循二分法的步骤求解，并借助函数图象检验.

例1 解：原方程即2x + 3x –7 = 0，令f (x) = 2x + 3x –7，用计算器或计算机作出函数f (x) = 2x + 3x –7的对应值表与图象

x 0 1 2 3 4

f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21

x 5 6 7 8

f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273

观察图或表可知f(1)•f(2)<0，说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.

取区间(1，2)的中点x1=1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)•f(1.5)<0,所以x0∈(1，1.5).

再取(1，1.5)的中点x¬2=1.25，用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25)•f(1.5)<0,所以x0∈(1.25，1.5).

同理可得x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.4375)

由于|1.375–1.4375| = 0.0625<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375. 尝试体验二分法，培养应用二分法从而固化基本理论技能

巩固练习

1.借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点(精确度0.1).

2.借助计算器或计算机，用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解(精确度0.1). 学生动手尝试练习，师生借助计算机合作完成求解.

1.解：由题设可知f(0)= –1.4<0，f(1)=1.6>0，

于是f(0)•f(1)<0，

所以，函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点.

下面用二分法求函数f(x) = x3 + 1.1x2 + 0.9x– 1.4在区间(0，1)内的零点

取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)= –0.55.因为f(0.5)•f(1)<0，

所以x0∈(0.5，1).

再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)≈0.32.

因为f(0.5)•f(0.75)<0，

所以x0∈(0.5，0.75).

同理可得x0∈(0.625，0.75)，x0∈(0.625，0.6875)，x0∈(0.65625，0.6875)

由于|0.6875–0.65625|=0.3125<0.1，

所以原方程的近似解可取为0.65625.

2.解原方程即x + lgx– 3 = 0，令f(x) = x + lgx– 3，用计算器可算得f(2)≈–0.70，f(3)≈0.48，

于是f(2)• f(3)<0，

所以，这个方程在区间(2，3)内有一个解.

下面用二分法求方程x = 3 – lgx在区间(2，3)内的近似解.

取区间(2，3)的中点x1 = 2.5，用计算器可算得f(2.5)≈–0.10.

因为f(2.5)•f(3)<0，所以x0¬∈(2.5，3).

再取区间(2.5，3)的中点x2¬¬ = 2.75，用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)•f(2.75)<0，所以x0¬∈(2.5，2.75).

同理可得x0¬∈(2.5，2.625)，

x0¬∈(2.5625，2.625).

由于|2.625–2.5625|=0.0625<0.1，

所以原方程的近似解可取为2.5625. 进一步体验二分法，巩固应用二分法的方法与技巧及注意事项.

课后练习 3.1 第三课时  习案 学生独立完成 巩固二分法应用技能

备选例题

例1  用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点(精确到0.1).

【解析】由于f (1) = –2<0，f (2) = 5>0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：

端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间

a0 = 1，b0 = 2 f(1)= –2，f(2)=5 [1，2]

f (x0) = 0.375>0 [1，1.5]

f (x1) = –1.0469<0 [1.25，1.5]

f (x2) = –0.4004<0 [1.375，1.5]

f (x3) = –0.0295<0 [1.4375，1.5]

f (x4) = 0.1684>0 [1.4375，1.46875]

f (x5)>0 [1.4375，1.453125]

x6 = 1.4453125 f (x6)>0 [1.4375，1.4453125]

由上表的计算可知区间[1.4375，1.4453125]的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4，所以1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.

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