通过三组试验,我们可以发现:虽然 , , 三个数值不等,但是三个试验存在共性,即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近.同时还可看出,不同的随机事件对应的数值可能不同.我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小,即概率.(引出概率定义)

定义可采用学生口述、教师补充的方式,然后可以投影此定义:一般地,在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率 ,当n很大时,总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆度幅度越来越小,这时就把这个常数叫作事件A的概率,记为P(A).

学生可考虑如下问题:(1)概率P(A)的取值范围是什么?

(2)必然事件、不可能性事件的概率各是多少?

(3)频率和概率有何关系?

其中重点是问题(3),应启发、引导学生总结出:在大量重复试验的前提下,频率可以近似地称为这个事件的概率,而概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小.

为加深对二者关系的理解,可以进行如下类比:给定一根木棒,谁都不怀疑它有"客观"的长度,长度是多少?我们可以用尺或仪器去测量,不论尺或仪器多么精确,测得的数值总是稳定在木棒真实的"长度"值的附近.事实上,人们也是把测量所得的值当作真实的"长度"值.这里测量值就像本节中的频率,"客观"长度就像概率.

概率的这种定义叫作概率的统计定义.在实践中,经常采用这种方法求事件的概率.

三、解释应用

[例 题]

1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒,即20粒黑子,10粒白子,那么摸到黑子的概率约为多少?

学生通过多次试验,可以发现此概率约为 .

2. 为确定某类种子的发芽率,从一批种子中抽出若干批做发芽试验,其结果如下:

表28-3

种子粒数(n) 25 70 130 700 2000 3000

发芽粒数(m) 24 60 116 639 1806 2713

发芽率(  )

0.96 0.857 0.892 0.913 0.903 0.904

从以上的数据可以看出,这类种子的发芽率约为0.9.

[练 习]

某射击手在同一条件下进行射击,结果如下:

击次数(n) 10 20 50 100 200 500

击中靶心次数(m) 8 19 44 92 178 455

击中靶心频率(  )

(1)计算表中击中靶心的各个频率.

(表中各频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91)

(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?

(由此(1)可知,这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.9)

四、拓展延伸

"某彩票的中奖概率为 "是否意味着买1000张彩票就一定能中奖?

从概率的统计定义出发,我们先来考虑此题的简化情形:在投掷一枚均匀硬币的随机试验中,正面出现的概率是 ,这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢?

根据经验,我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现,即出现2次反面的情形,但是在大量重复掷硬币的试验中,如掷10000次硬币,则出现正面的次数约为5000次.

买1000张彩票相当于做1000次试验,结果可能是一次奖也没中,或者中一次奖,或者多次中奖.所以"彩票中奖概率为 "并不意味着买1000张彩票就一定能中奖.只有当所买彩票的数量n非常大时,才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为 (比如说买1000000张彩票,则中奖的次数约为1000),并且n越大,中奖次数越接近于 .

由此我们可以说,对于小概率事件,从理论上来讲,发生的可能性很小,甚至在一定条件下可能不会发生.但是,实际上小概率事件仍有发生的可能,如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了.

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