三、解释应用

[例 题]

1. 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,而你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少.

分析:我们有两种方法计算事件的概率.

(1)利用几何概型的公式.

(2)利用随机模拟的方法.

解法1:如图,方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间,纵坐标表示父亲离开家去工作的时间.假设随机试验落在方形内任一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以

解法2:设X,Y是0~1之间的均匀随机数.X+6.5表示送报人送到报纸的时间,Y+7表示父亲离开家去工作的时间.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.用计算机做多次试验,即可得到P(A).

教师引导学生独立解答,充分调动学生自主设计随机模拟方法,并组织学生展示自己的解答过程,要求学生说明解答的依据.教师总结,并明晰用计算机(或计算器)产生随机数的模拟试验.强调:这里采用随机数模拟方法,是用频率去估计概率,因此,试验次数越多,频率越接近概率.

2. 如图,在正方形中随机撒一大把豆子,计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比,并以此估计圆周率的值.

解:随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

假设正方形的边长为2,则

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以

这样就得到了π的近似值.

另外,我们也可以用计算器或计算机模拟,步骤如下:

(1)产生两组0~1区间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;

(2)经平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;

(3)数出落在圆内a2+b2<1的豆子数N1,计算 (N代表落在正方形中的豆子数).

可以发现,随着试验次数的增加,得到π的近似值的精度会越来越高.

本例启发我们,利用几何概型,并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积.

[练 习]

1. 如图30-4,如果你向靶子上射200镖,你期望多少镖落在黑色区域.

2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分(y=1和y=x2围成的部分)的面积.

3. 画一椭圆,让学生设计方案,求此椭圆的面积.

四、拓展延伸

1. "概率为数'0'的事件是不可能事件,概率为1的事件是必然事件",这句话从几何概型的角度还能成立吗?

2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗?

3. 你能说说频率和概率的关系吗?

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