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第1课时　等差数列的概念及通项公式

知能目标解读

1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.

2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.

3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.

4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.

5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.

重点难点点拨

重点：等差数列的概念.

难点：等差数列的通项公式及其运用.

学习方法指导

1.等差数列的定义

(1)关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：

①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.

②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.

③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).

(2)如何证明一个数列是等差数列?

要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同

一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.

注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.

2.等差数列的通项公式

(1)通项公式的推导常用方法：

方法一(叠加法)：∵{an}是等差数列，

∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,

an-2-an-3=d,…,

a3-a2=d,a2-a1=d.

将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,

∴an=a1+(n-1)d.

方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，

∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.

即an=a1+(n-1)d.

方法三(逐差法)：∵{an}是等差数列，则有

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.

注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.

(2)通项公式的变形公式

在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有

am=a1+(m-1)d　　　①

an=a1+(n-1)d 　　　②

由②-①得an-am=(n-m)d,

∴an=am+(n-m)d.

注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=  (n≠m).

(3)通项公式的应用

①利用通项公式可以求出首项与公差;

②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;

③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.

3.从函数角度研究等差数列的性质与图像

由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.

当d>0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示.

当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.

当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.

4.等差中项

如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，

那么A叫做数a与b的等差中项.

注意:(1)等差中项A=  a,A,b成等差数列;

(2)若a,b,c成等差数列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;

(3)用递推关系an+1=  (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.

知能自主梳理

1.等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的　　　　是　　　　，我们称这样的数列为等差数列.

2.等差中项

如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做　　　　.

3.等差数列的判断方法

(1)要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，　　　　.

(2)如果an+1= 对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是　　　　.

(3)若a,A,b成等差数列，则A=　　　　.

4.等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为   ，它的推广通项公式为   .

5.等差数列的单调性

当d>0时，{an}是    数列;当d=0时，{an}是   数列;当d<0时，{an｝是    数列.

[答案]　1.差　同一个常数

2.a与b的等差中项

3.(1)an-an-1=d(常数)　(2)等差数列　(3)

4.an=a1+(n-1)d　an=am+(n-m)d

5.递增　常　递减

思路方法技巧

命题方向　等差数列的定义及应用

[例1]　判断下列数列是否为等差数列.

(1)an=3n+2;

(2)an=n2+n.

[分析]　利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.

[解析]　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.

(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.

[说明]　利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.

1　　 n=1

变式应用1　试判断数列{cn｝，cn=              是否为等差数列.

?                                2n-5　n≥2

[解析]　∵c2-c1=-1-1=-2,

cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).

∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.

∴{cn}不是等差数列.

命题方向　等差数列通项公式的应用

[例2]　已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.

[分析]　利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.

[解析]　解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得

a1+4d=11　　　　 a1=19

解得          .

a1+7d=5　　　　 d=-2

∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.

解法二：∵a8=a5+(8-5)d,

∴d= = =-2.

∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.

[说明]　(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.

(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d= ，应注意掌握对它的灵活应用.

变式应用2　已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.

a10=a1+9d=29

[解析]　设等差数列的公差为d,则有                   ，

a21=a1+20d=62

解得a1=2,d=3.

∴an=2+(n-1)×3=3n-1.

令an=3n-1=91,得n=  N+.

∴91不是此数列中的项.

命题方向　等差中项的应用

[例3]　已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?

[分析]　已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.

[解析]　因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,

又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)

=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)

=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,

所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),

所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.

[说明]　本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.

变式应用3　已知数列{xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.

[分析]　由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.

[解析]　由x1=3,得2p+q=3,　　　　①

又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得

3+25p+5q=25p+8q,　　　　　　　　　②

由①②得q=1,∴p=1.

[说明]　若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.

探索延拓创新

命题方向　等差数列的实际应用

[例4]　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损?

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