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高一数学《交集与并集》教案

编辑:sx_mengxiang

2014-10-09

【摘要】在授课前做好每一课的教学计划,将能帮助老师们更加高效的传授知识,下面是“《交集与并集》教案”欢迎大家进入精品的高中频道,参考下面的教学计划,希望大家喜欢!

自主学习

1.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.

2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自学阅读能力和自主探究能力.

3.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

1.一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2.一般地,由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩∅=__∅__,A∪∅=A.

4.若A⊆B,则A∩B=__A__,A∪B=__B__.

5.A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆A∪B,A∩B⊆A∪B.

对点讲练

求两个集合的交集与并集

【例1】 求下列两个集合的并集和交集.

(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};

(2)A={x|x<-2},B={x|x>-5}.

解 (1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},

A∩B={1,2,3}.

(2)结合数轴(如图所示)得:

A∪B=R,A∩B={x|-5

规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义,借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况,有利于准确写出交集、并集.

变式迁移1 (1)若集合A={x|x>-1},B={x|-2

A.{x|x>-2}                      B.{x|x>-1}

C.{x|-2

(2)若将(1)中A改为A={x|x>a},求A∪B,A∩B.

(1)答案 A

解析 画出数轴,故A∪B={x|x>-2}.

(2)解 如图所示,

当a<-2时,A∪B=A,A∩B={x|-2

当-2≤a<2时,A∪B={x|x>-2},A∩B={x|a

当a≥2时,A∪B={x|-2

已知集合的交集、并集求参数

【例2】 已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.

(1)若A∩B=∅,求a的取值范围;

(2)若A∪B=R,求a的取值范围.

解 (1)由A∩B=∅,

①若A=∅,有2a>a+3,

∴a>3.

②若A≠∅,如图:

∴2a≥-1a+3≤52a≤a+3,解得-12≤a≤2.

综上所述,a的取值范围是{a|-12≤a≤2或a>3}.

(2)由A∪B=R,如图所示,

∴2a≤-1a+3≥5,解得a∈∅.

规律方法 出现交集为空集的情形,应首先考虑集合中有没有空集,即分类讨论.其次,与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.

变式迁移2 已知集合A={x|2

(1)若A∩B=∅,试求a的取值范围;

(2)若A∩B={x|3

解 (1)如图,有两类情况,一类是B≠∅⇒a>0.

此时,又分两种情况:①B在A的左边,如图B所示;

②B在A的右边,如图B′所示.

B或B′位置均使A∩B=∅成立,

即3a≤2或a≥4,解得0

另一类是B=∅,即a≤0时,显然A∩B=∅成立.

综上所述,a的取值范围是{a|a≤23,或a≥4}.

(2)因为A={x|2

如图所示:

集合B若要符合题意,显然有a=3,此时B={x|3

交集、并集性质的运用

【例3】 已知集合A={x|1

解 ∵A∪B=B,

∴A⊆B.

(1)当a=0时,A=∅,满足A⊆B.

(2)当a>0时,A=x|1a

∵A⊆B,∴1a≥-12a≤1

∴a≥2.

(3)当a<0时,A=x|2a

∵A⊆B,∴2a≥-11a≤1

∴a≤-2.

综合(1)(2)(3)知,a的取值范围是

{a|a≤-2或a=0或a≥2}.

规律方法 明确A∩B=B和A∪B=B的含义,根据问题的需要,将A∩B=B和A∪B=B转化为等价的关系式B⊆A和A⊆B是解决本题的关键.另外在B⊆A时易忽视B=∅时的情况.

变式迁移3 设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.

解 ∵A∩B=B,∴B⊆A.

∵A={-2}≠∅,

∴B=∅或B≠∅.

当B=∅时,

方程ax+1=0无解,此时a=0.

当B≠∅时,

此时a≠0,则B={-1a},

∴-1a∈A,

即有-1a=-2,得a=12.

综上,得a=0或a=12.

1.A∪B的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别,它们是“相容”的.求A∪B时,相同的元素在集合中只出现一次.

2.A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B,这两个性质非常重要.另外,在解决有条件A⊆B的集合问题时,不要忽视A=∅的情况.

课时作业

一、选择题

1.设集合A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则A∩B等于(  )

A.{x|-5≤x<1}                B.{x|-5≤x≤2}

C.{x|x<1}                     D.{x|x≤2}

答案 A

2.下列四个推理:①a∈(A∪B)⇒a∈A;②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B);③A⊆B⇒A∪B=B;④A∪B=A⇒A∩B=B.其中正确的是(  )

A.1            B.2           C.3           D.4

答案 C

解析 ②③④正确.

3.设A={x|1≤x≤3},B={x|x<0或x≥2},则A∪B等于(  )

A.{x|x<0或x≥1}                B.{x|x<0或x≥3}

C.{x|x<0或x≥2}                D.{x|2≤x≤3}

答案 A

解析 结合数轴知A∪B={x|x<0或x≥1}.

4.已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a

A.3≤a<4                       B.-1

C.a≤-1                       D.a<-1

答案 C

5.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是(  )

A.1             B.2             C.3              D.4

答案 B

二、填空题

6.已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=________.答案 {(2,1)}

7.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围为________.

答案 a≥-1

8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5

答案 -4

解析 如图所示,

可知a=1,b=6,2a-b=-4.

三、解答题

9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A∩B.

解 ∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.

∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±6.

若x2-1=3,则A∩B={1,3}.

若x2-1=5,则A∩B={1,5}.

10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.

解 A={1,2},∵A∪B=A,

∴B⊆A,集合B有两种情况,B=∅或B≠∅.

(1)B=∅时,方程x2-4x+a=0无实数根,

∴Δ=16-4a<0,∴a>4.

(2)B≠∅时,当Δ=0时,

a=4,B={2}⊆A满足条件;

当Δ>0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根,

由根与系数的关系知矛盾,无解,∴a=4.

综上,a的取值范围是a≥4.

探究驿站

11.求满足P∪Q={1,2}的集合P,Q共有多少组?

解 可采用列举法:

当P=∅时,Q={1,2};

当P={1}时,Q={2},{1,2};

当P={2}时,Q={1},{1,2};

当P={1,2}时,Q=∅,{1},{2},{1,2},

∴一共有9组.

点击下载:《交集与并集》教案.doc

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