一. 引入新课

今天我们一起再来研究一种常见函数.前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数.

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数.这个熟悉的函数就是指数函数.

提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

由学生说出

是指数函数，它是存在反函数的.并由一个学生口答求反函数的过程：

由

得

.又

的值域为

，

所求反函数为

.

那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数.

2.8对数函数 (板书)

一. 对数函数的概念

1. 定义：函数

的反函数

叫做对数函数.

由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为

，对数函数的值域为

，且底数

就是指数函数中的

，故有着相同的限制条件

.

在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.

二.对数函数的图像与性质 (板书)

1. 作图方法

提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图.同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图.

由于指数函数的图像按

和

分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况

和

，并分别以

和

为例画图.

具体操作时，要求学生做到：

(1) 指数函数

和

的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等).

(2) 画出直线

.

(3)

的图像在翻折时先将特殊点

对称点

找到，变化趋势由靠近

轴对称为逐渐靠近

轴，而

的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在

左侧的先翻，然后再翻在

右侧的部分.

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和

的图像.(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

2. 草图.

教师画完图后再利用投影仪将

和

的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)

3. 性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可说明图像位于

轴的右侧.

(3) 截距：令

得

，即在

轴上的截距为1，与

轴无交点即以

轴为渐近线.

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于

轴对称.

(5) 单调性：与

有关.当

时，在

上是增函数.即图像是上升的

当

时，在

上是减函数，即图像是下降的.

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当

时，有

;当

时，有

.

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来.

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图.且应将其性质与指数函数的性质对比记忆.(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用.