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本文题目：高一数学寒假作业

本次寒假作业，以数学1和数学2上的内容为载体，准备50道题。通过同学们认真看书、独立思考、规范解答、题后反思，形成对集合与函数、基本初等函数、立体几何和解析几何的解题能力.要求同学们使用16开白纸本，写出规范的解题过程，1月17日——2月20日期间，每天至少完成2道题，按照4个登校日1月30日、2月6日、2月13日和2月20日交给任课教师进行批阅。祝同学们度过一个快乐、充实的寒假!

一、集合与基本初等函数(20题)

第1天：1月17日

1.设函数 ，其中 ， 表示 的小数点后的第 位上的数字，其中 ，

求 的值.

2.设 求函数 的最大值和最小值.

第2天：1月18日

3.已知函数 ，画出 的图像，由此写出定义域和值域.

4. 已知函数 ;

(Ⅰ) 若定义域为 ，求 的取值范围;

(Ⅱ) 若值域为 ，求 的取值范围.

第3天：1月19日

5.对于定义在 上的函数 ，若实数 满足 ，则称 是 的不动点，

若 不存在不动点，求实数 的取值范围.

6. 设 是定义在 上的增函数，且 ，

若 ，求实数 的取值范围.

第4天：1月20日

7.拟定从甲地到乙地通话 分钟的电话费由 (单位：元)给出，其中 ，这里的 表示的是大于或等于 的最小整数(如 ， ).

求：从甲地到乙地通话时间为11.7分钟的话费.

8.判断并证明函数 的奇偶性.

第5天：1月21日

9.求值： 10.已知集合 ，集合 ， ，求实数 的值.

第8天：1月24日

11.已知 ，求(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) 12.已知函数 ,

(Ⅰ) 求满足 的 的值;

(Ⅱ) 求使 成立的 的取值范围;

(Ⅲ) 若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围.

第9天：1月25日

13.分别求函数 在下列区间上的最大值和最小值.

(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .

14.若奇函数 的定义域为R，且当 时， ，求当 时，函数 的解析式，并画出该函数的简图.

第10天：1月26日

15.已知 ，

(Ⅰ) 求证: ;

(Ⅱ) 求证：函数 是奇函数;

(Ⅲ) 若 , ,求 与 的值.

16. 用单调性定义证明函数 在区间 上是减函数.

第11天：1月27日

17.函数 的定义域为 ,对任意的 ，总有 ,已知函数 的部分对应值如下表：求不等式 的解集.

-101234

21-1

18.已知集合 ， ，通过画数轴解答如下问题：

(Ⅰ)若A∩B= ，求出 的取值范围，(Ⅱ)若 A B，求出 的取值范围.

第12天：1月28日

19.已知 ，

(Ⅰ)讨论函数 的奇偶性;

(Ⅱ)若 在 上为增函数，求 的取值范围.

20.已知函数 ( ,且 )

(Ⅰ) 证明:函数 的图像在 轴的一侧;

(Ⅱ) 设 , ( )是 图像上的两点,证明直线 的斜率大于0;

(Ⅲ) 求函数 与 的图像的交点坐标.

二、立体几何(15题)

第13天：1月29日

1.如图，三棱锥 ，若 到底面三角形 的三顶点距离相等，求证： 在底面 上的射影 是三角形的外心.

2.如图，在四面体 中， ⊥平面 ， 是棱 的中点， = =2，求异面直线 与 所成的角的大小.

D

A

B

M

C

C

B

A

P

O

第15天：1月31日

3.如图(右)，在棱长为2的正方体 中， 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正切值.

4. 在长方体 中， 是 上的任意一点， 分别是 的中点.

求证： 平面 .

A

B

N

M

D

C

D1

A1

B1

C1

E

A1

B1

D1

C1

D

C

B

A

E

第16天：2月1日

5.在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，

求证：(Ⅰ)EF∥平面ACD;(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD.

C

A

B

A1

B1

C1

6. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，平面A1BC⊥侧面A1ABB1.求证：AB⊥BC

C

B

F

A

D

E

第17天：2月2日

7.在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，BP⊥AC，求证：PC⊥AB.

A

B

C

S

O

8.如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 分别为以 为底边的等腰三角形，且 ，若 为 中点.求证： 平面 .

C

B

A

P

第18天：2月3日

9. 在正方体 中，求直线 和平面 所成的角.

10.如图， 垂直于矩形 所在平面， 分别是 的中点.

(Ⅰ)求证： ;

(Ⅱ)求证： ;

A1

B1

D1

C1

D

C

B

A

(Ⅲ)若PA=AB，求二面角P-BC-D的大小.

C

B

M

A

D

P

N

第19天：2月4日

11.在三棱锥 中，平面 ， ， 是等边三角形， 是 的中点..(Ⅰ)求二面角 的大小;(Ⅱ)求证：平面 .

12.已知四棱锥 的底面是边长为1的正方形， 平面 ， 是侧棱 的中点，侧棱 ，(Ⅰ) 求证：直线 ∥平面 ;(Ⅱ) 求二面角 的大小.

C

A

D

P

B

D

T

S

C

B

A

第20天：2月5日

13.在平面直角坐标系中的四边形ABCD，其顶点坐标分别为 ，将四边形ABCD绕 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.

台体体积公式： 14.在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CA与平面ADMN所成的角.

第22天：2月7日

15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是BC、CC1、CD的中点，

(Ⅰ)求证 AF⊥平面B1EG;(Ⅱ)求直线A1C与DE所成的角的余弦值.

A1

D1

B1

D

C1

C

B

A

F

E

G

A

B

C

D

X

Y

三、解析几何(15题)

第23天：2月8日

1.若直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求 的内切圆的方程.

2.求过点 被圆 截得的弦的中点轨迹方程.

第24天：2月9日

3.求圆 恒过的两定点的坐标.

4.已知直线 和两点 (Ⅰ)在 上求一点 ，使 最小;(Ⅱ)在 上求一点 ，使 最大.

第25天：2月10日

5.求两条直线 与 的夹角平分线所在直线方程.

6.已知 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 是切点， 是圆心，求四边形 的面积的最小值.

第26天：2月10日

7.已知直线 互相垂直相交于点 ，求 的值.

8.两条互相平行的直线分别过点 ，并且可以各自绕着点 旋转，设这两条平行直线间的距离为 .

(Ⅰ)求 的取值范围;(Ⅱ)当 取得最大值时，求这两条直线的方程.

第27天：2月11日

9.若实数 满足 ，求 的最大值和最小值.

10.已知点 点 分别在直线 上，求 的周长的最小值.

第28天：2月12日

11.实数 满足 ，求 的最大值和最小值.

12.已知圆的半径为 ，圆心在直线 上，圆被直线 截得的弦长为 ，求圆的方程.

第31天：2月16日

13.若 的顶点 ， ，角 的角平分线所在的直线方程为 ，求边 所在的直线方程.

第32天：2月17日

14.已知⊙O的方程为 ，

(Ⅰ) 求过点 的⊙O的切线方程;

(Ⅱ) 设直线 是过点 的所有直线中，被⊙O截得的最短的弦所在直线，求直线 的方程及其被⊙O截得的最短的弦的长度.

第33天：2月18日

15.已知方程 的图形是圆

(Ⅰ)求 的取值范围;

(Ⅱ)求其中面积最大的圆的方程;

(Ⅲ)求圆心的轨迹方程;

(Ⅳ)若点 恒在所给圆内，求 的取值范围.

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