2.(08福建)如图、椭圆-+-=1(a>b>0)的一个焦点是F(1，0)，O为坐标原点。

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，都有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

求a的取值范围。

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，所以|OF|=-|MN|,

即1=-·■，解得b=-

a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为-+-=1.

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2(a2>1)，因此，恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：x=my+1，代入-+-=1，

整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0，

所以y1+y2=-，y1y2=-

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2，所以∠AOB恒为钝角。

即OA·OB=(x1，y1)·(x2，y2)=x1x2+y1y2<0恒成立。

x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=---+1=-<0

又a2+b2m2>0，所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立。

当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因为a>0,b>0,所以a0,

解得a>-或a<-(舍去)，即a>-,

综合(i)(ii)，a的取值范围为(-，+∞).

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