基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构。

初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的并且可用一个式子表示的函数。 基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *.

u 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 。

当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3.实数指数幂的运算性质

(1) · ;

(2) ;

(3) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

定义域 R

定义域 R

值域y>0

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点(0，1)

函数图象都过定点(0，1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;

(2)若 ，则 ; 取遍所有正数当且仅当 ;

(3)对于指数函数 ，总有 ;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ( — 底数， — 真数， — 对数式)

说明：1 注意底数的限制 ，且 ;

2 ;

3 注意对数的书写格式.

两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ;

2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 .

u 指数式与对数式的互化

幂值 真数

= N = b

底数

指数 对数

(二)对数的运算性质

如果 ，且 ， ， ，那么：

1 · + ;

2 - ;

3 .

注意：换底公式

( ，且 ; ，且 ; ).

利用换底公式推导下面的结论

(1) ;(2) .

(二)对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

2 对数函数对底数的限制： ，且 .

2、对数函数的性质：

a>1

0

定义域x>0

定义域x>0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点(1，0)

函数图象都过定点(1，0)

(三)幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1);

(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数.特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;

(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

例题：

1. 已知a>0，a 0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是　　　　　　 (　 )

2.计算： ① ;② = ; = ;

③ =

3.函数y=log (2x2-3x+1)的递减区间为

4.若函数 在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=

5.已知 ，(1)求 的定义域(2)求使 的 的取值范围