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高三数学学习方法:重基础把握知识网络

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2012-09-07

所谓形成网络就是在复习过程中,把前后各章节相关的知识点串联起来,形成有机整体,做到纵向成一条线(以知识点为主线),横向成一片(各数学分支知识形成网络),纵横成一体(相互渗透形成有机整体)。

如今年文科第9题:直线y=x/2关于直线x=1对称的直线方程是_____。作为填空题,只要以2-x带x即得直线方程x+2y-2=0,理由是方程f(x,y)=0关于直线x=a对称的方程为f(2a-x,y)=0。如果不记得这个结论,可在直线上取一点,如O(0,0),它关于直线x=1的对称点为(2,0),再由直线x=1和y=x/2的交点(1,1/2)求出直线方程。这样既浪费时间,还容易出错。

类似地,以下结论每一位同学都要掌握:f(x,y)=0关于直线y=b对称的方程是f(x,2b-y)=0;关于直线x=a,y=b同时对称,即关于点(a,b)的方程为f(2a-x,2b-y)=0,特别地,当a=0、b=0时得到关于y轴、x轴对称的方程。方程f(x,y)=0关于直线x-y=0、x+y=0对称的方程分别为f(y,x)=0、f(-y,-x)=0。同时还要掌握直线外一点关于一条直线对称点的求法。

若把对称问题迁移到函数中,则有结论:函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a-x)=f(a+x)。但若函数满足y=f(a-x)和y=f(a+x),则它们的图像关于y轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图像自身关于直线x=a对称,后者是两个函数图像关于y轴对称。

函数图像关于直线对称,还有结论:

函数y=f(b-x)与y=f(a+x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。

函数y=f(a-x)与y=f(x-a),则f(x)的图像关于直线x=a对称。

函数图像关于点对称,有结论:函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b(或f(a+x)+f(a-x)=2b),则f(x)的图像关于点(a,b)对称。

当b=0时,函数y=f(x)满足f(2a-x)=-f(x),则f(x)的图像关于点(a,0)对称。

与周期函数联系,有结论:

函数y=f(x)满足f(x-a)=f(x+a),则2a是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),则2a是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b都对称,则2(a-b)是f(x)的一个周期。

函数y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,c)都对称,则4(a-b)是f(x)的一个周期。

以上是由一个简单的填空题引出的一连串结论,用于解客观题就是"秘密武器",用于解答题可以化繁为简。

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