高中数学讲解——概率数列综合题

有人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都为1/2，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第3站、……第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子向前跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，此游戏结束。设棋子向前跳到第站概率为Pn，

(1)求P0,P1，P2;

(2)求证：Pn-Pn-1=-(P­n-1-Pn-2)/2;

(3)求P99及P100。

分析：(1)棋子在第0站为必然事件，故概率为P0=1，若掷一次出正面则P1=1/2，棋子可从第0站向前跳两站直达第2站，也可先跳到第1站，再跳到第2站。故P2=(1/2)×(1/2)+(1/2)=3/4。

(2)证明：棋子向前跳到第n站(2≤n≤99)的情况有两种：

第一种，棋子先向前跳到第n-2站,又掷出反面。其概率为Pn-2/2

第二种，棋子先向前跳到第n-1站,又掷出正面。其概率为Pn-1/2

∴Pn=Pn-2/2 + Pn-1/2，

∴Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2)/2。

(3)解：由(2)知P1-P0，P2-P1，P3-P2，P4-P3，…P99-P98，是首项为P1-P0=-1/2公比为-1/2的等比数列。

∴P1-P0=-1/2, P2-P1=(-1/2)2, P3-P2=(-1/2)3, …P99-P98=(-1/2)99，以上各式相加得：

P99-1=(-1/2)+(-1/2)2+(-1/2)3+(-1/2)4+…+(-1/2)99=(-1/2)[1-(-1/2)99]/(1+1/2)

∴P99=2[1-(1/2)100]/3。而第100站只能从第98站直达这一种情况。因为到第99站时此游戏已结束了。故P100=P98/2=1/2 × [2/3 + (-1/2)98/3]=1/3 + (1/2)99/3。

评析：平时的概率应用题大都是将概率与排列组合知识结合，此题将概率与数列知识结合起来，同时又有游戏背景，趣味性浓。第100站的概率要小心隐含的陷阱。

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