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高中数学详解：高中数学对数函数及其性质

【2.2.2】对数函数及其性质

(5)对数函数

(6)反函数的概念

设函数

果对于

子x值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y).如yf(x)的定义域为A，y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改写成yf1(x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域;②从原函数式

③将xyf(x)中反解出xf1(y); f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数

②函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称. yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域.

yf(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数yf1(x)的图象上. ③若P(a,b

)在原函数

④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自 变量，是常数.

(3)幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第

一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1).

③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数.如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.

q(其中p,q互p

q

p④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当qp质，p和qZ)，若

是偶函数，若p为奇数q为奇数时，则yxqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数.

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图象在直 线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方.

〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)ax2bxc(a0)②顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)③两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

(3)二次函数图象的性质

①二次函数f(x)更方便. f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb,顶点坐标是2a

b4acb2(,).

2a4a

②当a

0时，抛物线开口向上，函数在(,

;当a

bbb

]上递减，在[,)上递增，当x

2a2a2a

时，

4acb2

fmin(x)

4a

0时，抛物线开口向下，函数在(,

bb

]上递增，在[,)上2a2a

4acb2b

递减，当x时，fmax(x)

2a4a

③二次函数

.

f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x

轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|

(4)一元二次方程ax

2

. |a|

bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程ax

2

bxc0(a0)的两实根为x1,x2 ，且x1x2.令

b2a

从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：xf(x)ax2bxc，

③判别式： ④端点函数值符号. ①k

②x1≤x2

③x1

④k1

⑤有且仅有一个根x1(或x2)满足k1

f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

⑥k1

f(x)ax2bxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

，最小值为m，令x0

f(x)在区间[p,q]上的最大值为M

(Ⅰ)当a



1

(pq). 2

0时(开口向上)

①若

bbbbp，则mf(p) ②若pq，则mf() ③若q，则

2a2a2a2a

mf(q)

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