2 分步乘法计数原理

(1)提出问题

问题2.1:用前6个大写英代字母和1—9九个阿拉伯数字,以,,…,,,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码

探究:你能说说这个问题的特征吗

(2)发现新知

分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法. 那么完成这件事共有

种不同的方法.

(3)知识应用

问题2.2:设某班有男生30名,女生24名. 现要从中选出男,女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法

探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,做第3步有种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法

如果完成一件事情需要个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢

一般归纳:

完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

理解分步乘法计数原理:

分步计数原理针对的是"分步"问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.

3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是"分类"问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是"分步"问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事,是合作完成.

3 综合应用

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的代艺书,第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书,有多少种不同的取法

②从书架的第1,2,3层各取1本书,有多少种不同的取法

③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法

【分析】

①要完成的事是"取一本书",由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题,应用分类计数原理.

②要完成的事是"从书架的第1,2,3层中各取一本书",由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分,只有第1,2,3层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理.

③要完成的事是"取2本不同学科的书",先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和代艺书各1本,再要考虑取1本计算机书或取1本代艺书都只完成了这

件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.

略解:①

②

③

问题3.2 要从甲,乙,丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左,右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法

巩固练习

1.填空:

①一件工作可以用2种方法完成,有5人会用第1种方法完成,另有4人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,不同选法的种数是 .

②从A村去B村的道路有3条,从B村去C村的道路有2条,从A村经B村去C村,不同的路线有 条.

2. 现有高中一年级的学生3名,高中二年级的学生5名,高中三年级的学生4名.

①从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法

②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法

3.从甲地到乙地有2种走法,从乙地到丙地有4种走法,从甲地不经过乙地到丙地有3种走法,则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.

4.甲,乙,丙3个班各有三好学生3,5,2名,现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会,共有 种不同的推选方法.

课堂小结

1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理,是推导排列数,组合数公式的理论依据,也是求解排列,组合问题的基本思想.

2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,并加区别

分类加法计数原理针对的是"分类"问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是"分步"问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成后才算做完这件事.

3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点:

分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即"不重不漏".

分步乘法计数原理:首先确定分步标准,其次满足:必须并且只需连续完成这n个步骤,这件事才算完成.

课外作业

1.课本第14页的习题1.1A第1,2,3题

2.编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题,并加以解答

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