8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;

(3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.

参考答案

难点磁场

解法一：(换元法)

∵f(2-cosx)=cos2x-cosx=2cos2x-cosx-1

令u=2-cosx(1≤u≤3),则cosx=2-u

∴f(2-cosx)=f(u)=2(2-u)2-(2-u)-1=2u2-7u+5(1≤u≤3)

∴f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+4(2≤x≤4)

解法二：(配凑法)

f(2-cosx)=2cos2x-cosx-1=2(2-cosx)2-7(2-cosx)+5

∴f(x)=2x2-7x-5(1≤x≤3),即f(x-1)=2(x-1)2-7(x-1)+5=2x2-11x+14(2≤x≤4).

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(x)= .

∴f[f(x)]= =x,整理比较系数得m=3.

答案：A

2.解析：利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2-1的对称轴为x=-1,最小值为-1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为-1.

答案：B

二、3.解析：由f(x)+2f( )=3x知f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去f( )可得f(x)= -x.

答案：f(x)= -x

4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b)x+a+b=bx+x+1.

故2a+b=b+1且a+b=1,解得a= ,b= ,∴f(x)= x2+ x.

答案： x2+ x

三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)= .

6.解：(1)设x∈[1,2],则4-x∈[2,3],∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x),又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(-x)=f(4-x)=-2(x-1)2+4.

(2)设x∈[0，1]，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=-2(x-1)2+4,又由(1)可知x∈[0,2]时，f(x)=-2(x-1)2+4,设A、B坐标分别为(1-t,0),(1+t,0)(0

7.解：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x;当P点在BC上运动时，由Rt△ABD?可得PA= ;当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA= ;当P点在DA上运动时，PA=4-x,故f(x)的表达式为：

f(x)=

(2)由于P点在折线ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.

如原题图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0;当P在BC上时，即1

故g(x)=

8.(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1),又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0.

(2)解：当x∈[1,4]时，由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).

(3)解：∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,又f(1)=k·1=k,∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f(x)?=-3x,当-1≤x<0时，f(x)=-3x,当4≤x≤6时，-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=

-3(x-5)=-3x+15,?当6

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