二、知识结构

三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明  加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.

例1  5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?

解：  5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=35(种)

(二)排列、排列数公式

说明  排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.

例2  由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶数共有(    )

A.60个        B.48个        C.36个        D.24个

解  因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12=36(个)

由此可知此题应选C.

例3  将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解：  将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123;同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法;将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为

3P13=9(种).

例四　例五可能有问题，等思考

三)组合、组合数公式、组合数的两个性质

说明  历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.

例4  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有(    )

A.140种      B.84种      C.70种       D.35种

解：  抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种;甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种

根据加法原理可得总的取法有

C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )

可知此题应选C.

例5  甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?

解：  甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种;

乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种;

丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种;

丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.

根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22= ×1=1680(种).

(四)二项式定理、二项展开式的性质

说明  二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.

例6  在(x- )10的展开式中，x6的系数是(    )

A.-27C610        B.27C410        C.-9C610        D.9C410

解  设(x- )10的展开式中第γ+1项含x6，

因Tγ+1=Cγ10x10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4

于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(- )4=9C410

故此题应选D.

例7    (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)5的展开式中的x2的系数等于

解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为

在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.

(五)综合例题赏析

例8  若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(    )

A.1                        B.-1             C.0           D.2

解：A.

例9  2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有(    )

A.6种            B.12种          C.18种            D.24种

解  分医生的方法有P22=2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2=12种不同的分配方法。

应选B.

例10  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有(    ).

A.140种          B.84种          C.70种           D.35种

解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.

∴应选C.

例11  某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有(    )

A.27种      B.48种      C.21种       D.24种

解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

∵C13·C1 7+C23=3×7+3=24，

∴应选D.

例12  由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(    ).

A.210个                  B.300个

C.464个                  D.600个

解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P 55=600个.

由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

∴有 ×600=300个符合题设的六位数.

应选B.

例13  以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有(    ).

A.70个                   B.64个

C.58个                   D.52个

解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.

其中共面四点分3类：构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;形如(ADB1C1 )的有4组.

∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)

应选C.

例14  如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(    ).

A.12对                      B.24对

C.36对                      D.48对

解：设正六棱锥为O—ABCDEF.

任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

∴共有C16×4=24对异面直线.

应选B.

例15  正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形共         个(以数字作答).

解：7点中任取3个则有C37=35组.

其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).

∴三角形个数为35-3=32个.

例16  设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则 的值为                。

解  10个元素的集合的全部子集数有：

S=C010+C110+C210+C310+C410+C510+C610+C710+C810+C910+C1010=2 10=1024

其中，含3个元素的子集数有T=C310=120

故 =

例17        例17        在50件产品 n 中有4件是次品，从中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共

种(用数字作答).

解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

∴C34·C246+C44·C146=4186(种)

例18  有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有(    ).

A.1260种                     B.2025种

C.2520种                     D.5040种

解：先从10人中选2个承担任务甲(C210)

再从剩余8人中选1人承担任务乙(C1 8)

又从剩余7人中选1人承担任务乙(C1 7)

∴有C210·C1 8C1 7=2520(种).

应选C.

例19  集合{1，2，3｝子集总共有(    ).

A.7个      B.8个      C.6个       D.5个

解  三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数

C13，由二个元素组成的子集数C23。

由3个元素组成的子集数C33。由加法原理可得集合子集的总个数是

C13+C23+C33+1=3+3+1+1=8

故此题应选B.

例20  假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有(    ).

A.C23C3197种        B.C23C3197 +C33C2197

C.C5200-C5197                D.C5200-C 13C4197

解：5件中恰有二件为次品的抽法为C23C3197，

5件中恰三件为次品的抽法为C33C2197，

∴至少有两件次品的抽法为C23C3197+C33C2197.

应选B.

例21  两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是(    ).

A.C58C38         B.P12C58C38　　　C.P58P38

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