15.充要条件

(1)充分条件：若 ，则 是 充分条件.

(2)必要条件：若 ，则 是 必要条件.

(3)充要条件：若 ，且 ，则 是 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设 那么

上是增函数;

上是减函数.

(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数;如果 ，则 为减函数.

17.如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减函数; 如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

19.若函数 是偶函数，则 ;若函数 是偶函数，则 .

20.对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是函数 ;两个函数 与  的图象关于直线 对称.

21.若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 ,则函数 为周期为 的周期函数.

22.多项式函数 的奇偶性

多项式函数 是奇函数  的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数 是偶函数  的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数 的图象的对称性

(1)函数 的图象关于直线 对称

.

(2)函数 的图象关于直线 对称

.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.

(3)函数 和 的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象;若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

.

27.若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 ,而函数 是 的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数 , .

(2)指数函数 , .

(3)对数函数 , .

(4)幂函数 , .

(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，

.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1) ，则 的周期T=a;

(2) ，

或 ，

或  ,

或 ,则 的周期T=2a;

(3) ，则 的周期T=3a;

(4) 且 ，则 的周期T=4a;

(5)

,则 的周期T=5a;

(6) ，则 的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1) ( ，且 ).

(2) ( ，且 ).

31.根式的性质

(1) .

(2)当 为奇数时， ;

当 为偶数时， .

32.有理指数幂的运算性质

(1)   .

(2)  .

(3) .

注： 若a>0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

.

34.对数的换底公式

( ,且 , ,且 ,  ).

推论  ( ,且 , ,且 , ,  ).

35.对数的四则运算法则

若a>0，a≠1，M>0，N>0，则

(1) ;

(2)  ;

(3) .

36.设函数 ,记 .若 的定义域为 ,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

若 , , , ,则函数

(1)当 时,在 和 上 为增函数.

，    (2)当 时,在 和 上 为减函数.

推论:设 ， ， ，且 ，则

(1) .

(2) .

38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

( 数列 的前n项的和为 ).

40.等差数列的通项公式

;

其前n项和公式为

.

41.等比数列的通项公式

;

其前n项的和公式为

或 .

42.等比差数列 : 的通项公式为

;

其前n项和公式为

.

43.分期付款(按揭贷款)

每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).

44.常见三角不等式

(1)若 ，则 .

(2) 若 ，则 .

(3)  .

45.同角三角函数的基本关系式

， = ， .

46.正弦、余弦的诱导公式

47.和角与差角公式

;

;

.

(平方正弦公式);

.

= (辅助角 所在象限由点 的象限决定,  ).

48.二倍角公式

.

.

.

49. 三倍角公式

.

. .

50.三角函数的周期公式

函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0，ω>0)的周期 ;函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0，ω>0)的周期 .

51.正弦定理

.

52.余弦定理

;

;

.

53.面积定理

(1) ( 分别表示a、b、c边上的高).

(2) .

(3) .

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有

.

55. 简单的三角方程的通解

.

.

.

特别地,有

.

.

.

56.最简单的三角不等式及其解集

.

.

.

.

.

.

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：

(1) a•b= b•a (交换律);

(2)( a)•b=  (a•b)= a•b= a•( b);

(3)(a+b)•c= a •c +b•c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

60.向量平行的坐标表示

设a= ,b= ，且b 0，则a b(b 0) .

53. a与b的数量积(或内积)

a•b=|a||b|cosθ.

61. a•b的几何意义

数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

62.平面向量的坐标运算

(1)设a= ,b= ，则a+b= .

(2)设a= ,b= ，则a-b= .

(3)设A ，B ,则 .

(4)设a= ，则 a= .

(5)设a= ,b= ，则a•b= .

63.两向量的夹角公式

(a= ,b= ).

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