定义：一般地说，从n个不同元素里，每次取出m (1<=m<=n)个元素, 不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素里每次取出m个元素的组合。 例如：从3个元素a,b,c里每次取出2个元素的组合，就是指下列三种组合ab,ac,bc。

由组合的定义可以知道，如果两种组合里所含的元素完全一样，只是排列的顺序不同，如ab和ba，那么它们仍是相同的组合。 由此可知，组合和排列是不同的。排列和元素排列的顺序有关，但是组合和这种顺序没有关系。

习题： 1，从2，3，5，7，11，13这六个数中，每次取出3个数相乘。问可以得到多少个不同的积? 2，一分，二分，五分硬币各一枚，一共可以组成多少种不同的币值?

由于组合数的计算公式的推导过程比排列要麻烦，所以我们这里略去复杂的推导过程，直接给出组合数的计算公式。

定义：从n个不同元素中取出m(m<=n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(m,n)表示。

C(m,n)=n*(n-1)*...*(n-m+1) / (1*2*...*m) 当m=n时，C(m,n)=1。

让我们来看下面这个例题： 例：有七个人进行乒乓球比赛，采用单循环制，即每两人之间要进行一场比赛。问共要进行多少场比赛? 解：这个问题等同于从7个不同的元素中选取2个元素的所有组合个数。 所以比赛场数等于C(2,7)=7*...*(7-2+1)/(1*2)=7*6/2=21

组合的推广：

定义1:若r1+r2+......+rk=n，把n个不同的元素分成k个部分，第一部分r1个，第二部分r2个，......，第k部分rk个，则不同的分法有： n! / (r1!*r2!*......*rk!) 种，这里n!叫做n的阶层，它的值为n!= 1*2*......*n ;

定义2:若n个元素中有n1个具有特性“1”， n2个具有特性“2”，......，nk个具有特性“k”，且n1+n2+......+nk= n，从这n个元素中取出r个，使得具有特性“I”的元素有ri个(1<=I<=k)，而r1+r2+......+rk=r ，这时不同的取法的总数为： C(r1，n1)*C(r2，n2)*......*C(rk，nk) ，这里要求ri <= ni 。

例：有10个砝码，其重量分别为1克，2克，......，10克，从中取出三个;要求取出的三个砝码，一个小于5克，一个等于5克，一个大于5克。问共有多少种不同的取法? 解：由上述的定义2，我们认为1克-4克的砝码具有特性“1”，5克的砝码具有特性“2”，6克-10克的砝码具有特性“3”。从这10个砝码中取出三个，具有特性“1”、特性“2” 、特性“3”的各取一个，则不同取法总数为： C(1，4)*C(1，1)*......*C(1，5)=4*1*5=20 (种)

排列与组合复合计算：

在了解了排列和组合的基本性质以后，我们可以来计算一些比较复杂的排列，组合的计算题，求解时，必须先确定是排列还是组合问题，然后根据题意列出计算式，求得解答。

例1：课外研究小组共有13个人，其中男同学8人，女同学5人。从这13人里选出3个人准备报告，在选出的3人中至少要有1个女同学。问一共有多少种选法? 解：“至少有有1个女同学”，就是说选出的3个人中，可以有1个女同学，2个女同学，也可以有3个女同学。根据乘法原则： 有1个女同学的选法有C(1,5)*C(2,8) 种; 有2个女同学的选法有C(2,5)*C(1,8) 种; 有1个女同学的选法有C(3,5) 种。 根据加法原则，至少有1个女同学的选法的种数为 C(1,5)*C(2,8)+C(2,5)*C(1,8)+C(3,5)=5*28+10*8+10=230

例2：用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成无重复的四位数中，比1200大的共有多少个? 解：比1200大的四位数，是以下各数组成： 1，千位数字为2，3，4，5，6;这样的四位数有 C(1,5)*P(3,6) 种。 2，千位数字为1，而百位数字为2，3，4，5，6;这样的四位数有 C(1,5)*P(2,5) 种。 根据加法原则，得到 C(1,5)*P(3,6)+C(1,5)*P(2,5)=600+100=700。

对于有些比较复杂的排列组合问题，直接利用乘法原则比较困难，可根据已知条件分为若干类，然后利用加法原则，可求得它们的解。

例如，对生产的一批乒乓球进行质量抽查，结果如下表所示:

抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 m/n 0.90 0.92 0.97 0.94 0.95 0.95

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