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从欧几里得几何到非欧几何

编辑:sx_wangha

2012-04-17

【读者按】欧几里得(Euclid,约公元前330~275)的《几何原本》是一部划时代的著作,其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学,都只限于一些具体问题的解答,并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时,把这一领域的材料系统地整理,并阐明它们的关系,就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形,研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候,因而在明确地规定了定义和公理的基础上,排除直观性,建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上,编著完成了他的《几何原本》。

《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础,给出全书最初出现的23个定义,5条公设,5条公理:

定义

(1) 点没有部分。

(2) 线有长度,而没有宽度。

(3) 线的界限是点(注:《几何原本》中没有伸展到无穷的线)。

(4) 直线是同其中各点看齐的线。

(5) 面只有长度和宽度。

(6) 面的界限是线。

(7) 平面是与其上的直线看齐的面。

(8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。

(9) 当形成一角的两线是一直线时,这个角叫做平角。

(10) ~(22)(略)(是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义)。

(23)平行直线是在同一个平面内,而且往两个方向无限延长后,在这两个方向上都不会相交的直线。

关于几何的基本规定的5条公设:

(1) 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。

(2) 每条直线都可以无限延伸。

(3) 以任意点作中心,通过任何给定的点另一点,可以作一个圆。

(4) 所有的直角都相等。

(5) 同平面内如有一条直线与另两条直线相交,且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角,则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。

关于量的基本规定的5条公理:

(1) 等于同量的量相等;

(2) 等量加等量,总量相等;

(3) 等量减等量,余量相等;

(4) 彼此重合的量是全等的;

(5) 整体大于部分。

欧几里得在此基础上运用逻辑推理,导出了许许多多的命题(在《几何原本》中包含了465个命题),从而构成了欧几里得几何学。

由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图,因此这两件仪器被称为欧几里得工具,使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图,即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题:

(1) 倍立方问题:求作一个立方体,使体积为已知立方体的二倍;

(2) 三等分角问题:三等分一个(任意的)已知角;

(3) 化圆为方问题:求作一个正方形,使其面积为已知圆的面积。

尽管是徒劳的,但从各方面推动了数学的发展。

将公设、公理分开是从亚里士多德开始的,现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与“在平面内过已知直线外一点,只有一条直线与已知直线不相交(平行)”相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。

自《几何原本》问世以来,直到19世纪大半段以前,数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范,但也有少数数学家看出了其中的严重缺点,并设法纠正。首先,欧几里得的定义不能成为一种数学定义,完全不是在逻辑意义下的定义,有的不过是几何对象的直观描述(比如点,线,面等),有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次,欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观,或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。

针对欧氏几何的上述缺陷,数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末,德国数学家希尔伯特(D.Hilbert,1862~1943)于1899年发表了《几何基础》,书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念,其中三个是基本对象:点、直线、面;5个是基本关系:点属于(或关联)直线,点属于(或关联)平面,一点在两点之间,两线段合同,两角合同。这些基本概念应服从5组公理:关联公理;顺序公理;合同公理;连续公理;平行公理。(参见沈纯理等,经典几何,科学出版社,2004或郑崇友等,几何学引论(第二版),高等教育出版社,2005)。

另外,人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题,即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者(包括一些很有名的数学家)曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来,但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri(1733)开始,人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的,即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基(Лобачевский,Н.И.,1792~1856)和波尔约(J,Bolyai,1802~1860)分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题,即用“过给定直线外一点,存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理,并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题,但并没有导致任何的矛盾,非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系,还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来,即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年代,德国数学家克莱因(F.Klein,1849~1925)提出了Klein模型,庞加莱(J.H.Poincare,1854~1912)提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。

另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann,1826~1866)。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说:直线可以无限延长。但是,并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的,只不过是说它是无端的或无界的。例如,连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长,使得延长了的弧无端,但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设(1),(2)和(5)作如下的修正:

(1)两个不同的点至少确定一条直线;

(2)直线是无界的;

(3)平面上任何两条都相交。

就可得到一种相容的几何学,称为黎曼的非欧几何(椭圆几何)。这样的几何可以在球面上实现。

由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现,几何学从传统的束缚中解放出来了,从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路,并有广泛的应用,如:在爱因斯坦发现的广义相对论中,用到黎曼几何;由1947年对视空间(从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间)所作的研究得出结论:这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。

如果实数系是相容的,则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的,但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔(K.Godel,1906~1978)证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,存在F中的不可判定命题。”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F,F的相容性不能在F中被证明。”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。
 

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