【读者按】欧几里得(Euclid，约公元前330~275)的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。

《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：

定义

(1) 点没有部分。

(2) 线有长度，而没有宽度。

(3) 线的界限是点(注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线)。

(4) 直线是同其中各点看齐的线。

(5) 面只有长度和宽度。

(6) 面的界限是线。

(7) 平面是与其上的直线看齐的面。

(8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。

(9) 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。

(10) ~(22)(略)(是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义)。

(23)平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。

关于几何的基本规定的5条公设：

(1) 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。

(2) 每条直线都可以无限延伸。

(3) 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。

(4) 所有的直角都相等。

(5) 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。

关于量的基本规定的5条公理：

(1) 等于同量的量相等;

(2) 等量加等量，总量相等;

(3) 等量减等量，余量相等;

(4) 彼此重合的量是全等的;

(5) 整体大于部分。

欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题(在《几何原本》中包含了465个命题)，从而构成了欧几里得几何学。

由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：

(1) 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍;

(2) 三等分角问题：三等分一个(任意的)已知角;

(3) 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。

尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。

将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交(平行)”相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。

自《几何原本》问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述(比如点，线，面等)，有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。

针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德国数学家希尔伯特(D.Hilbert，1862~1943)于1899年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面;5个是基本关系：点属于(或关联)直线，点属于(或关联)平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理;顺序公理;合同公理;连续公理;平行公理。(参见沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004或郑崇友等，几何学引论(第二版)，高等教育出版社，2005)。

另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者(包括一些很有名的数学家)曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri(1733)开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基(Лобачевский,Н.И.，1792~1856)和波尔约(J，Bolyai，1802~1860)分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用“过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交”来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，即提供这种“虚”几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因(F.Klein，1849~1925)提出了Klein模型，庞加莱(J.H.Poincare，1854~1912)提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。

另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann,1826~1866)。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设(1)，(2)和(5)作如下的修正：

(1)两个不同的点至少确定一条直线;

(2)直线是无界的;

(3)平面上任何两条都相交。

就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何(椭圆几何)。这样的几何可以在球面上实现。

由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何;由1947年对视空间(从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间)所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。

如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔(K.Godel,1906~1978)证明了“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。”及“对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。”因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。
 

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