编者按：威廉希尔app 小编为大家收集了“高中数学：球的表面积计算公式”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

球的表面积计算公式: 球的表面积=4πr^2， r为球半径 .

球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径

精确的球的表面积计算公式:球的表面积=4πr^2,r为球半径 ,公式唯一.

精确的球的体积计算公式:V球=(4/3)πr^3,r为球半径 ,公式唯一.

一、选择题

1.如果三个球的半径之比是1︰2︰3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的导学号 09024188(　B　)

A.59倍　　 B.95倍　　 C.2倍　　 D.3倍

[解析]　设小球半径为1，则大球的表面积S大=36π，S小+S中=20π，36π20π=95.

2.若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为导学号 09024189(　A　)

A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4

[解析]　设两球的半径分别为R、r(R>r)，则由题意得4π3R3+4π3r3=12π2πR+2πr=6π，解得R=2r=1.故R-r=1.

3.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是导学号 09024190(　A　)

A.6π6　　 B.π2 C.2π2　　 D.3π2π

[解析]　由6a2=4πR2得aR=2π3，∴V1V2=a343πR3=34π2π33=6π6.

4.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是导学号 09024191(　C　)

A.π3　　 B.π4　　 C.π2　　 D.π

[解析]　设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2=4R2，∴a2=43R2，

球的表面积S1=4πR2，正方体的表面积 S2=6a2=6×43R2=8R2，∴S1︰S2=π2.

5.正方体的内切球与其外接球的体积之比为导学号 09024192(　C　)

A.1︰3　　 B.1︰3 C.1︰33　　 D.1︰9

[解析]　设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求体积之比为1︰33.

6.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为导学号 09024193(　C　)

A.4π(r+R)2　　 B.4πr2R2 C.4πRr　　 D.π(R+r)2

[解析]　解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE=2r1，CE=R-r，DC=R+r.由勾股定理得4r21=(R+r)2-(R-r)2，解得r1=Rr.故球的表面积为D球=4πr21=4πRr.

解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2=BF•AF=Rr，即r21=Rr，故r1=Rr，故球的表面积为S球=4πRr.

二、填空题

7.(2017•天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π2__.导学号 09024194

[解析]　设正方体的棱长为a，则6a2=18，

∴a=3.

设球的半径为R，则由题意知2R=a2+a2+a2=3，

∴R=32.

故球的体积V=43πR3=43π×(32)3=9π2.

8.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为__36π__.

导学号 09024195

[解析]　设球O的半径为r，则43πr3=23，

解得r=36π.

三、解答题

9.体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小.导学号 09024196

[解析]　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1=6a2，S2=4πR2，S3=6πr2.

由题意知，43πR3=a3=πr2•2r，

∴R=334πa，r=312πa，

∴S2=4π334πa2=4π•3916π2a2=336πa2，

S3=6π312πa2=6π•314π2a2=354πa2，

∴S2<s3.< p="">

又6a2>332πa2=354πa2，即S1>S3.

∴S1、S2、S3的大小关系是S2<s3<s1.< p="">

10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积.导学号 09024197

[解析]　该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.

该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3.

B级　素养提升

一、选择题

1.用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是导学号 09024198(　B　)

[解析]　选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

2.若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为导学号 09024199(　A　)

A.π6 cm3　　 B.6π8 cm3 C.4π3 cm3　　 D.6π6 cm3

[解析]　设球的半径为R，正方体的棱长为a，

∴6a2=6，∴a=1.∴2R=1，∴R=12.

∴球的体积V=43πR3=43π×(12)3=π6.

3.一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是导学号 09024200(　D　)

A.963　　 B.163　　 C.243　　 D.483

[解析]　由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球=43×πr3=32π3解r=2.S底=12×a×a2-a24=12a•r×3，得a=23r=43，所以V柱=S底•2r=483.

4.已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为导学号 09024201(　C　)

A.2π3+12　　 B.4π3+16 C.2π6+16　　 D.2π3+12

[解析]　由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V=13×(12×1×1)×1+[4π3×(22)3]×12=16+2π6，故选C.

二、填空题

5.一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__16π__.导学号 09024202

[解析]　该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)+2×π×222=16π.

6.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是__4__cm.导学号 09024203

[解析]　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r=6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3=4πr3，由题意得6πr3-8πr2=4πr3，解得r=4(cm).

C级　能力拔高

1.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少?导学号 09024204

[解析]　设取出小球后，容器中水面下降h cm，

两个小球的体积为V球=2[4π3×(52)3]=125π3(cm3)，

此体积即等于它们的容器中排开水的体积

V=π×52×h，

所以125π3=π×52×h，

所以h=53，即若取出这两个小球，则水面将下降53 cm.

2.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.

导学号 09024205

[解析]　如图，设SO1是四面体S-ABC的高，则外接球的球心O在SO1上.

设外接球半径为R.

∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，

∴AO1=23×32a=33a，

SO1=SA2-AO21

=a2-13a2=63a，

在Rt△OO1A中，R2=AO21+OO21=AO21+(SO1-R)2，

即R2=(33a)2+(63a-R)2，解得R=64a，

∴所求外接球体积V球=43πR3=68πa3.

∴OO1即为内切球的半径，OO1=63a-64a=612a，

∴内切球的半径为612a.

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