二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)

13.(2010•湖南长沙一中)已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0.若l1⊥l2，则a=________.

答案：±1

解析：∵l1⊥l2，∴kl1•kl2=-1，即(-a)•a=-1，∴a=±1.

14.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y<4表示的平面区域内，则P点的坐标为__________.

答案：(-3,3)

解析：因|4a-9+1|5=4，∴a=7，a=-3.

当a=7时，不满足2x+y<4(舍去)，∴a=-3.

15.(2009•朝阳4月，12)已知动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，则直线l与圆：x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是________.

答案：相交

解析：动直线l平分圆C：(x-2)2+(y-1)2=1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O：x=3cosθ，y=3sinθ，即x2+y2=9，且22+12<9，(2,1)在圆O内，则直线l与圆O：

x=3cosθ，y=3sinθ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交.

16.(2009•山东济南一模)若直线y=kx-2与圆x2+y2=2相交于P、Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，k的值为________.

答案：±3

解析：由图可知，点P的坐标为(0，-2)，

∠OPQ=30°，∴直线y=kx-2的倾斜角为60°或120°，∴k=±3.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)

17.(本小题满分10分)求经过7x+8y=38及3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程.

解析：易得交点坐标为(2,3)

设所求直线为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0，

即(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0，

令x=0，y=388-2λ，

令y=0，x=387+3λ，

由已知，388-2λ=387+3λ，

∴λ=15，即所求直线方程为x+y-5=0.

又直线方程不含直线3x-2y=0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x-2y=0亦为所求.

18.(本小题满分12分)已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1;x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程.

分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程.

解析：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，-4)或B′(3，-9)，截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意.

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.

解方程组y=k(x-3)+1，x+y+1=0，得

A(3k-2k+1，-4k-1k+1).

解方程组y=k(x-3)+1，x+y+6=0，得

B(3k-7k+1，-9k-1k+1).

由|AB|=5.

得(3k-2k+1-3k-7k+1)2+(-4k-1k+1+9k-1k+1)2=52.

解之，得k=0，直线方程为y=1.

综上可知，所求l的方程为x=3或y=1.

分析二：用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解.

解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=|1-6|2=522，且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=5225=22，故θ=45°.

由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：

x=3或y=1.

分析三：设直线l1、l2与l分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则通过求出y1-y2，x1-x2的值确定直线l的斜率(或倾斜角)，从而求得直线l的方程.

解法三：设直线l与l1、l2分别相交A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0.

两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5.      ①

又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25.        ②

联立①、②可得

x1-x2=5，y1-y2=0，或x1-x2=0，y1-y2=5.

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.

故所求的直线方程为x=3或y=1.

19.(本小题满分12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程.

解析：设所求圆的圆心为(a，b)，半径为r，

∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上，

∴圆心(a，b)在直线x+2y=0上，

∴a+2b=0，         ①

(2-a)2+(3-b)2=r2.        ②

又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为22，

∴r2-(a-b+12)2=(2)2       ③

解由方程①、②、③组成的方程组得：

b=-3，a=6，r2=52.或b=-7，a=14，r2=244，

∴所求圆的方程为

(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.

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