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幂函数

重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较

两个幂值的大小.

(一)幂函数的定义：一般地，形如 α y = x (a ∈ R) 的函数称为幂函数，其中 x

是自变量，α是常数;

注意：幂函数与指数函数的区别.

规律 1：当α > 0时，幂函数在[0, ) +∞ 上是增函数;当α < 0时，幂函数在(0, ) +∞ 上

是减函数;

规律 2：幂函数的图象的分布规律：

(1)在第一象限，作直线x = a(a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下

到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.

(2)(i)幂指数的分母为偶数时，图象只在第一象限;

(当

偶

奇

α = 时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.)

(ii)幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 y 轴对称;

( 当

奇

偶

α = 时，幂函数是偶函数)

(iii)幂指数的分子,分母都为奇数时,图象在第一,第三象限关于原点

对称.

(当

奇

奇

α = 时，幂函数是奇函数;)

规律 3：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线 y = x对称

幂函数的性质：

1.(1)幂函数的图象都过点(1,1); (2)任何幂函数都不过第四象限;

(3)当α > 0时，幂函数的图象过原点

2.当α > 0时,幂函数在[0, ) +∞ 上是增函数;

当α < 0时,幂函数在(0, ) +∞ 上是减函数;

特别地,i)当α>1 时,幂函数的图象下凹;ii)当 0<α<1 时,幂函数的图象上凸;

iii)α<0 时，在第一象限内，幂函数的图象下凹，过(1,1)后|a|越大，图像下

落的速度越快;当 x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地逼近 y

轴正半轴;当 x 趋于+ ∞ 时，图象在x轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

3.当α=-2,2 时，幂函数是偶函数;当 1

1,1,3, 3

α = − 时，幂函数是奇函数

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