2014年高一数学和差化积公式知识点总结

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正弦、余弦的和差化积

公式

指高中数学三角函数部分的一组恒等式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】

以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

证明过程

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，

设α+β=θ，α-β=φ

那么

α=(θ+φ)/2，β=(θ-φ)/2

把α，β的值代入，即得

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

正切的和差化积

tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附证明)

cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)【注意右式前的负号】

证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

∴等式成立

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